Question

如圖12所示，AB是一個固定在豎直面內的弧形軌道，與豎直圓形軌道BCD在最低點B平滑連接，且B點的切線是水平的；BCD圓軌道的另一端D與水平直軌道DE平滑連接。B、D兩點在同一水平面上，且B、D兩點間沿垂直圓軌道平面方向錯開了一段很小的距離，可使運動物體從圓軌道轉移到水平直軌道上�，F(xiàn)有一無動力小車從弧形軌道某一高度處由靜止釋放，滑至B點進入豎直圓軌道，沿圓軌道做完整的圓運動后轉移到水平直軌道DE上，并從E點水平飛出，落到一個面積足夠大的軟墊上。已知圓形軌道的半徑R=0.40m，小車質量m=2.5kg，軟墊的上表面到E點的豎直距離h=1.25m、軟墊左邊緣F點到E點的水平距離s=1.0m。不計一切摩擦和空氣阻力，弧形軌道AB、圓形軌道BCD和水平直軌道DE可視為在同一豎直平面內，小車可視為質點，取重力加速度g =10m/s2。

（1）要使小車能在豎直圓形軌道BCD內做完整的圓周運動，則小車通過豎直圓軌道最高點時的速度至少多大；

（2）若小車恰能在豎直圓形軌道BCD內做完整的圓周運動，則小車運動到B點時軌道對它的支持力多大；

（3）通過計算說明要使小車完成上述運動，其在弧形軌道的釋放點到B點的豎直距離應滿足什么條件。

Answer 1

解：（1）設小車能在豎直圓形軌道BCD內做完整的圓周運動，小車通過圓軌道最高點時的最小速度為vC，

根據(jù)牛頓第二定律有 mg=m……………………………………………………1分

解得vC== m/s =2.0m/s   …………………………………………1分

   （2）小車恰能在圓軌道內做完整的圓周運動，此情況下小車通過B點的速度為vB，軌道對小車的支持力為FN。

根據(jù)機械能守恒定律有 mv=mvC2+2mgR  ………………………………2分

根據(jù)牛頓第二定律有FN－mg=m    …………………………………………1分

解得  FN=150N    …………………………………………………………………1分

（3）設小車從E點水平飛出落到軟墊上的時間為，則h=gt2，

解得t=0.50s…………………………………………………………………………1分

設小車以vE的速度從E點水平飛出落到軟墊F點右側，則vEt＞s，解得vE2.0m/s

要使小車完成題目中所述運動過程，應當滿足兩個條件：

小車通過軌道B點的速度m/s；

小車通過E點的速度vE2.0 m/s。

因vE= vB，綜合以上兩點，小車通過B點的速度應不小于m/s………1分

設釋放點到B點的豎直距離為H，根據(jù)機械能守恒定律有mgH= mvB2，解得H=1.0m

釋放點到B點的豎直距離H≥1.0m…………………………………………………1分