Question

9．如圖，位于豎直平面內(nèi)的軌道，由一段傾斜的直軌道和與之相切的圓形軌道連接而成，兩軌道相切與P點(diǎn)（圓形軌道的入口），Q為圓形軌道最低點(diǎn)．已知圓形軌道光滑，半徑為R=0.6m，直軌道粗糙，與水平面的夾角為θ=37°，與小物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．現(xiàn)讓一質(zhì)量m=0.1kg的小物塊從直軌道上某處由靜止開始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)，要求小物塊最終不脫離軌道．試求：
（1）釋放小物塊的初始位置相對(duì)于切點(diǎn)P的高度h的取值范圍；
（2）小物塊通過(guò)Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的最小作用力．

Answer 1

分析 （1）小物塊不脫離軌道，有兩種情況：一種物塊能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，另一種物塊在下半圓上運(yùn)動(dòng)．研究物塊恰好通過(guò)最高點(diǎn)和恰好到達(dá)與圓心等高位置．求臨界速度，再由動(dòng)能定理求h的取值范圍．
（2）物塊從P運(yùn)動(dòng)到Q時(shí)速度最小，對(duì)軌道的壓力最小，由機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律結(jié)合求解．

解答 解：（1）當(dāng)物塊恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{6}$m/s
從釋放到圓周最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mg[h-R（1+cos37°）]-μmgcos37°•$\frac{h}{sin37°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：h=2.3m
當(dāng)物塊恰好滑到與圓心O等高位置時(shí)，由動(dòng)能定理得：
mg（h-Rcos37°）-μmgcos37°•$\frac{h}{sin37°}$=0
代入數(shù)據(jù)解得：h=0.8m
所以符合條件的h范圍為：h≥2.3m或h≤0.8m
（2）物塊從P運(yùn)動(dòng)到Q時(shí)速度最小，對(duì)軌道的壓力最小，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
在Q點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=1.4N
所以由牛頓第三定律得小物塊通過(guò)Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的最小作用力是1.4N．
答：（1）釋放小物塊的初始位置相對(duì)于切點(diǎn)P的高度h的取值范圍為h≥2.3m或h≤0.8m；
（2）小物塊通過(guò)Q點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的最小作用力是1.4N．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于圓周運(yùn)動(dòng)中繩的模型，關(guān)鍵要分析圓周運(yùn)動(dòng)的兩種臨界狀態(tài)，知道在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是重力恰好做為圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)中的兩種模型一定要牢牢的掌握�。�