Question

4．某種透明物質(zhì)的直角三棱鏡，其橫截面如圖所示．∠A=30°，AB邊長為L，O為AB邊中點．一條光線從O點垂直于AB面入射，接著入射光線繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)，入射角由0⁰逐漸增大，達到某一值時，觀察到AC面恰好無光線射出，而在BC面有光線垂直BC射出．求
（1）該三棱鏡折射率n；
（2）入射光線逆時針旋轉(zhuǎn)到與法線成45°過程中，AC邊有光線折射出的區(qū)域的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，畫出光路圖，由幾何關(guān)系得到全反射臨界角，再由臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求得折射率．
（2）結(jié)合上題的結(jié)果，由折射定律求出θ．考慮光線垂直AB入射的情況，再結(jié)合全反射條件分析．

解答 解：（1）由題意可知，光線射向AC面恰好發(fā)生全反射，反射光線垂直于BC面射出，光路圖如圖所示．
透明物體的臨界角為C，則 C=α=60° ①
由sinC=$\frac{1}{n}$ ②
得   n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ③
（2）射向AC面的光線恰好發(fā)生全反射，光從AB面入射，入射角為θ．
則折射角 β=30° ④
由n=$\frac{sinθ}{sinβ}$ ⑤
解得 sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜45° ⑥
當光線垂直于AB入射時，從AC面上D點射出
當光線以θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$從AB面入射，在棱鏡內(nèi)沿OE射到AC面上E點，恰好發(fā)生全反射，繼續(xù)增大入射角，射到AC面的光均發(fā)生全反射．
因此，從AC邊有光折射出的光的區(qū)域為DE段
且 $\overline{DE}$=$\overline{OD}$=$\overline{AD}$tan30°=$\frac{L}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L ⑥
答：
（1）該三棱鏡折射率n是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（2）入射光線逆時針旋轉(zhuǎn)到與法線成45°過程中，AC邊有光線折射出的區(qū)域的長度是$\frac{\sqrt{3}}{6}$L．

點評 幾何光學(xué)畫出光路圖是解題的關(guān)鍵．本題還要掌握全反射的條件和臨界角公式，并用來解決實際問題．