Question

17．如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內(nèi)的兩條光滑的軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D間距很小，現(xiàn)有一可視為質(zhì)點的小球從軌道ABC上距點高為H的地方由靜止釋放．
（1）若H=$\frac{r}{2}$，求小球經(jīng)過C點時的速度大小和小球?qū)�軌道DEF的壓力？并由此判斷小球經(jīng)C點后是否沿軌道DEF運動？
（2）若小球靜止釋放處離C點的高度h小于$\frac{r}{2}$，小球可擊中圓弧EF上的P點，OP與OE成θ=30°，求h．

Answer 1

分析 （1）小球從ABC軌道下滑，機械能守恒，由機械能守恒定律求球經(jīng)過C點時的速度大�。�小球經(jīng)過C點時，由牛頓運用定律可求出小球?qū)�軌道DEF的壓力．要使小球經(jīng)C點后沿軌道DEF運動，在C點的速度應滿足：m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$≥mg．聯(lián)立即可分析；
（2）若小球靜止釋放處離C點的高度h小于$\frac{r}{2}$，小球離開C點后做平拋運動，根據(jù)機械能守恒定律得到球經(jīng)過C點的速度，再根據(jù)平拋運動的規(guī)律求解h．

解答 解：（1）若H=$\frac{r}{2}$，小球從A運動到C的過程，由機械能守恒得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，得 v_C=$\sqrt{gr}$
設小球經(jīng)過C點時軌道對球的作用力方向向下，大小為N，則 mg+N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$，解得 N=0，所以由牛頓第三定律得知小球?qū)�軌道DEF的壓力為0．
由于v_C=$\sqrt{gr}$，所以小球經(jīng)C點后恰好沿軌道DEF運動．
（2）小球從A運動到C的過程，由機械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{′2}$，得 v_C′=$\sqrt{2gh}$
小球離開C點后做平拋運動，擊中圓弧EF上的P點時有：
  r+rsin30°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  rcos30°=v_C′t
聯(lián)立解得 h=$\frac{3}{24}$r
答：
（1）若H=$\frac{r}{2}$，小球經(jīng)過C點時的速度大小為$\sqrt{gr}$，小球?qū)�軌道DEF的壓力為0，小球經(jīng)C點后恰好沿軌道DEF運動．
（2）h是$\frac{3}{24}$r．

點評 本題是圓周運動和機械能守恒結(jié)合的題型，關鍵要知道小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運動，在圓周最高點必須滿足條件mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$．