Question

如圖甲所示，x方向足夠長(zhǎng)的兩個(gè)條形區(qū)域，其y方向的寬度分別為l₁=0.1m和l₂=0.2m，兩區(qū)域分別分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁和B₂的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方與xy平面垂直向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.1T，B₁隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示．現(xiàn)有大量粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以恒定速度v=2×10⁶m/s不斷沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，已知帶電粒子的電量q=-2×10^-8C，質(zhì)量m=4×10^-16kg，不考慮磁場(chǎng)變化產(chǎn)生的電場(chǎng)及帶電粒子的重力．求：
（1）在圖乙中0～1s內(nèi)，哪段時(shí)間從O發(fā)射的粒子能進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的磁場(chǎng)？
（2）帶電粒子打在磁場(chǎng)上邊界MN上的x坐標(biāo)范圍是多少？
（3）在MN以下整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，單個(gè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間分別是多少？

Answer 1

（1）粒子在B₁磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間極短，可視這極短時(shí)間內(nèi)的磁場(chǎng)為恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，帶電粒子在該磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，有
qvB1=m

v2

r

，當(dāng)r=l₁時(shí)，B1=

mv

ql1

，代入數(shù)據(jù)得
B₁=0.4T．
由右圖可知，當(dāng)B₁=0.4T時(shí)，
t=t′=0.8s
因此，0～0.8s時(shí)間內(nèi)B₁的值小于0.4T，粒子運(yùn)動(dòng)半徑大于l₁，這段時(shí)間從O發(fā)射的粒子將進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的區(qū)域．
（2）設(shè)粒子在B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r₂，當(dāng)B₁=0時(shí)，粒子打在MN上的A₁點(diǎn)為最左邊的點(diǎn)．根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得
qvB2=m

v2

r2

，
代入數(shù)據(jù)解得r2=

mv

qB2

=0.4m
如右圖幾何關(guān)系可知sinθ1=

l2

r2

=0.5
A₁點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
x₁=r₂-r₂cosθ₁=(0.4-0.2

3

)m
下圖中，若A₂為最右邊點(diǎn)，則A₂為軌跡與邊界MN的切點(diǎn)．過(guò)C₁點(diǎn)作速度方向的垂線，O₁為帶電粒子在磁場(chǎng)B₁中運(yùn)動(dòng)的圓心，O₂為在磁場(chǎng)B₂中運(yùn)動(dòng)的圓心．由幾何知識(shí)可得：
O₂C₂=r₂-（l₁+l₂）=0.1m
sinθ2=

l1+O2C2

r2

=0.5，即θ₂=30°，
由此可得A₂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₂為：x₂=r₁（1-cosθ₂）+r₂cosθ₂
由幾何知識(shí)可知此時(shí)r₁=0.2m
解得：x2=(0.2+0.3

3

)m
（3）粒子軌跡與MN相切時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡最長(zhǎng)，時(shí)間也最長(zhǎng)．由于粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且軌跡左右對(duì)稱，則粒子在磁場(chǎng)B₁中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1=2×

θ2r1

v

=

π

3

×10-7s
粒子在磁場(chǎng)B₂中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t2=2

( π 2 -θ2)r2

v

=

4π

3

×10^-7s
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為t_max=t₁+t₂=5.2×10^-7s
隨著磁場(chǎng)B₁逐漸增大，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間先增大后減小，當(dāng)B₁達(dá)到最大值時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑為r1min=

mv

qBmax

=0.08m＜0.1m
此時(shí)帶電粒子在B₁磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1/=

πm

qB1

=

2π

5

×10-7s
若B₁=0時(shí)，帶電粒子在B₁、B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t2/=

l1

v

+

θ1m

qB1

=1.55×10-7s＞t1/
所以帶電粒子在磁場(chǎng)中的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
t₁′=1.26×10^-7s
答：（1）0～0.8s時(shí)間內(nèi)B₁的值小于0.4T，粒子運(yùn)動(dòng)半徑大于l₁，這段時(shí)間從O發(fā)射的粒子將進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的區(qū)域；
（2）帶電粒子打在磁場(chǎng)上邊界MN上的x坐標(biāo)范圍是(0.4-0.2

3

)m到x2=(0.2+0.3

3

)m之間；
（3）在MN以下整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，單個(gè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間分別是5.2×10^-7s，1.26×10^-7s