Question

【題目】設(shè)地球可看作半徑的球體，一顆人造地球衛(wèi)星在地面上空的圓形軌道上以的速度繞地球運(yùn)動(dòng)。今在衛(wèi)星外側(cè)，點(diǎn)燃一個(gè)小火箭，給衛(wèi)星附加一個(gè)指向地心的分速度，求此后衛(wèi)星的橢圓軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面多少？

Answer 1

【答案】近地點(diǎn)高度，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度

【解析】

設(shè)火箭點(diǎn)燃時(shí)，衛(wèi)星對(duì)地形的位失為，速度為，使衛(wèi)星轉(zhuǎn)為橢圓軌道

因?yàn)閷?duì)o點(diǎn)的所以對(duì)o點(diǎn)角動(dòng)量守恒。在近地點(diǎn)時(shí)，位矢為，速度位，則有

（）=

（）=

或者表述為：火箭點(diǎn)燃時(shí)衛(wèi)星轉(zhuǎn)為橢圓軌道，近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)是衛(wèi)星速度垂直于地心到衛(wèi)星的直線，所以根據(jù)對(duì)o點(diǎn)角動(dòng)量守恒有：

（1）

因?yàn)樽鰴E圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有萬(wàn)有引力做功，機(jī)械能守恒，有：

為了免去G、M的計(jì)算，通常利用衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力（既萬(wàn)有引力）來(lái)簡(jiǎn)化上式：

代入機(jī)械能守恒式得：

（2）

（2）聯(lián)立，將（1）中的v′代入（2）中，可得：

解出：

近地點(diǎn)高度：

同理：

遠(yuǎn)地點(diǎn)高度：