Question

7．1990年3月，中國紫金山天文臺將1965年9月20日發(fā)現(xiàn)的第2752號小行星命名為吳健雄星，該星直徑32Km．如果該行星的密度和地球相同．則對該行星而言，第一宇宙速度為多少？其表面重力加速度多大？（地球：半徑R=6400Km；第一宇宙速度V=8×10³m/s；g=10m/s²）

Answer 1

分析 因題目中是將吳健雄星與地球相比較，故應(yīng)根據(jù)萬有引力定律分別對地球和吳健雄星列出方程，通過作比得出小行星的第一宇宙速度．由于小行星密度與地球相同，根據(jù)地球半徑和小行星的半徑的關(guān)系求出兩者質(zhì)量關(guān)系．根據(jù)星球表面萬有引力等于重力，列出等式表示出重力加速度．

解答 解：已知地球半徑為R=6400km，地球上第一宇宙速度為V=8km/s，密度為ρ，吳健雄星半徑r=16km，
根據(jù)萬有引力提供向心力得：則有G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
M=ρ$\frac{4}{3}$πR³，
解得：v=$\sqrt{\frac{gm}{R}}$=2R$\sqrt{\frac{Gπρ}{3}}$…①
吳健雄星其上物體的第一宇宙速度表達(dá)式為：v₁=2r$\sqrt{\frac{Gπρ}{3}}$…②
把①②兩式取比值得：v₁=$\frac{r}{R}$=20m/s；
由于小行星密度與地球相同，
所以小行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為$\frac{{M}_{行}}{{M}_{地}}=\frac{{{R}_{行}}^{3}}{{{R}_{地}}^{3}}$
根據(jù)星球表面萬有引力等于重力，列出等式：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，解得g=$G\frac{M}{{R}^{2}}=mg$，
所以小行星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比為$\frac{{g}_{行}}{{g}_{地}}=\frac{{R}_{行}}{{R}_{地}}=\frac{16}{6400}=\frac{1}{400}$，所以${R}_{行}=0.025m/{s}^{2}$
答：第一宇宙速度為20m/s，其表面重力加速度為0.025m/s²．

點評 本題要掌握第一宇宙速度的定義，正確利用萬有引力公式列出第一宇宙速度的表達(dá)式；同時注意認(rèn)真審題，如題目中吳健雄星的半徑為16km，而有些同學(xué)直接代入了32km．