Question

14．某電視臺(tái)擬推出一個(gè)水上娛樂(lè)節(jié)目，體驗(yàn)者乘坐滑水車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以簡(jiǎn)化為如下模型．如圖所示，滑水車(chē)從傾角為θ=53°的長(zhǎng)直軌道AC上的B點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，到達(dá)C點(diǎn)后進(jìn)入弧形的涉水軌道CDEF，其中CDE是半徑為R=5m，圓心角為106°的圓弧，EF為半徑為R=5m，圓心角為53°的圓弧，此時(shí)滑水車(chē)剛好能到達(dá)F點(diǎn)．已知滑水車(chē)與體驗(yàn)者的總質(zhì)量為60kg，B點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為L(zhǎng)₀=4m，滑水車(chē)與軌道AC間存在摩擦，涉水軌道CDEF可視為光滑軌道，不計(jì)滑水車(chē)受到的其他阻力作用，則

（1）求滑水車(chē)經(jīng)過(guò)CDE軌道時(shí)對(duì)D點(diǎn)的壓力；
（2）求滑水車(chē)與軌道AC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（3）若要使得滑水車(chē)能在F點(diǎn)水平拋出，求滑水車(chē)在AC上的釋放點(diǎn)B′到C的距離L′的范圍．

Answer 1

分析 （1）滑水車(chē)剛好能到達(dá)F點(diǎn)的速度v_F=0，從D到F點(diǎn)，由機(jī)械能守恒求D點(diǎn)速度，對(duì)D點(diǎn)由牛頓第二定律求壓力；
（2）研究從B到F的整個(gè)過(guò)程中，動(dòng)能變化為0，由動(dòng)能定理可求摩擦力做功W_f，進(jìn)而求μ；
（3）若要使得滑水車(chē)能在F點(diǎn)水平拋出，一個(gè)臨界條件是需滿足其恰好到達(dá)F點(diǎn)，另一臨界條件是滑水車(chē)在F點(diǎn)不受支持力．

解答 解：（1）滑水車(chē)剛好能到達(dá)F點(diǎn)的速度v_F=0，根據(jù)幾何關(guān)系可知DF間的高度差
h_DF=2R（1-cos53°）=4m
從D到F點(diǎn)，由機(jī)械能守恒，有
$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}=mg{h}_{DF}$，解得${v}_{D}=\sqrt{80}\\;m/s$m/s
對(duì)D點(diǎn)，設(shè)滑水車(chē)受到的支持力F_D，由牛頓第二定律，有${F}_{D}-\\;\\;\\;mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$mg=$m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，解得F_D=1560N
由牛頓第三定律，滑水車(chē)對(duì)軌道的壓力為1560N
（2）研究從B到F的整個(gè)過(guò)程中，動(dòng)能變化為0，由動(dòng)能定理可得
W_G+W_f=0
其中
W_G=mgL₀sin53°-mgR（1-cos53°）
W_f=-μmgL₀cos53°
代入解得μ=0.5
（3）要使滑水車(chē)在F點(diǎn)水平拋出，首先需滿足其恰好到達(dá)F點(diǎn)，對(duì)應(yīng)L′=L₀=4m
滑水車(chē)能在F點(diǎn)水平拋出的另一臨界條件是滑水車(chē)在F點(diǎn)不受支持力，對(duì)應(yīng)情況
$mg=m\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$，解得：v_F=$\sqrt{50}$m/s
研究從B′到F點(diǎn)，由動(dòng)能定理
$mgL′sin53°-mgR（1-cos53°）-μmgL′cos53°=\frac{1}{2}m$${v}_{F}^{2}$
得L′=9m
由以上討論可知，滑水車(chē)在AC上的釋放點(diǎn)B′到C的距離L′需滿足4m＜L′≤9m
答：（1）滑水車(chē)經(jīng)過(guò)CDE軌道時(shí)對(duì)D點(diǎn)的壓力為1560N；
（2）滑水車(chē)與軌道AC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5；
（3）若要使得滑水車(chē)能在F點(diǎn)水平拋出，滑水車(chē)在AC上的釋放點(diǎn)B′到C的距離L′需滿足4m＜L′≤9m．

點(diǎn)評(píng) 若要使得滑水車(chē)能在F點(diǎn)水平拋出，一個(gè)臨界條件是需滿足其恰好到達(dá)F點(diǎn)，另一臨界條件是滑水車(chē)在F點(diǎn)不受支持力．
選取研究過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解決問(wèn)題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問(wèn)題．