Question

14．如圖所示，傾角θ=30°的足夠長平行導軌MN、M′N′與水平放置的平行導軌NP、N′P′平滑連接，導軌間距均為L，MM′間接有阻值為R的電阻，軌道光滑且電阻不計．傾斜導軌MN、M′N′之間（區(qū)域Ⅰ）有方向垂直導軌平面向上的勻強磁場，水平部分的ee′ff′之間（區(qū)域Ⅱ）有豎直向上、磁感應強度為B₂的勻強磁場，磁場寬度為d．質(zhì)量為m、電阻為r、長度略大于L的導體棒ab從靠近軌道上端的某位置由靜止開始下滑，棒始終與導軌垂直并接觸良好，經(jīng)過ee′和ff′位置時的速率分別為v和$\frac{v}{4}$．已知導體棒ab進入?yún)^(qū)域Ⅱ運動時，其速度的減小量與它在磁場中通過的距離成正比，即△v∝△x．

（1）求區(qū)域Ⅰ勻強磁場的磁感應強度B₁；
（2）求導體棒ab通過區(qū)域Ⅱ過程中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）改變B₁使導體棒ab不能穿過區(qū)域Ⅱ，設導體棒ab從經(jīng)過ee′到停止通過電阻R的電量為q，求B₁的取值范圍，及q與B₁的關系式．

Answer 1

分析 （1）由于導軌足夠長，則ab棒到達導軌底端NN′前已經(jīng)做勻速運動，根據(jù)平衡條件和安培力公式求解B₁．
（2）設ab棒和電阻R產(chǎn)生的電熱分別為Q_r和Q_R，則有$\frac{{Q}_{R}}{{Q}_{r}}$=$\frac{R}{r}$，再由能量守恒守恒定律求解．  
（3）設棒以速度v_x通過ee′時，在區(qū)域Ⅱ中滑動x后停下，據(jù)題，△v∝△x，可得 v_x=$\frac{v-\frac{v}{4}}{a}$x=$\frac{3x}{4d}$v．根據(jù)棒勻速運動時受力平衡，列式得到B₁與x的關系式，使導體棒ab不能穿過區(qū)域Ⅱ，應滿足x＜d，得到對應B₁的取值范圍．再根據(jù)法拉第電磁感應定律和歐姆定律求解電量．

解答 解：（1）由導軌足夠長可知ab到達導軌底端NN′前已經(jīng)做勻速運動，速率為v，設此時ab產(chǎn)生的電動勢為E，電流為I，則有
  E=B₁Lv             ①
  I=$\frac{E}{R+r}$            ②
由平衡條件得 mgsinθ=B₁IL           ③
聯(lián)立①②③解得 B₁=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mg（R+r）}{2v}}$      ④
（2）設ab棒和電阻R產(chǎn)生的電熱分別為Q_r和Q_R，則有
  $\frac{{Q}_{R}}{{Q}_{r}}$=$\frac{R}{r}$                          ⑤
由能量守恒守恒定律得 $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m（\frac{v}{4}）^{2}$+Q_R+Q_r ⑥
聯(lián)立⑤⑥解得 Q_R=$\frac{15m{v}^{2}R}{32（R+r）}$             ⑦
（3）設棒以速度v_x通過ee′時，在區(qū)域Ⅱ中滑動x后停下，依題意有
  v_x=$\frac{v-\frac{v}{4}}{a}$x=$\frac{3x}{4d}$v   ⑧
設棒勻速運動時產(chǎn)生的電動勢為E_x，電流為I_x，則有
  mgsinθ=B₁I_xL     ⑨
  E_x=B₁Lv_x ⑩
  I_x=$\frac{{E}_{x}}{R+r}$
聯(lián)立解得 B₁=$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mgd（R+r）}{3vx}}$）
使導體棒ab不能穿過區(qū)域Ⅱ，應滿足x＜d，對應B₁的取值范圍是
 B₁＞$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$
設ab棒通過ee'后滑動距離x后停下，時間為△t，則此過程
棒產(chǎn)生的平均電動勢 $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{{B}_{2}Lx}{△t}$ 
回路的平均電流  $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$             
通過電阻R的電量 q=$\overline{I}$△t                
聯(lián)立解得 q=$\frac{2{B}_{2}mgd}{3{B}_{1}^{2}Lv}$  （B₁＞$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$）．
答：（1）區(qū)域Ⅰ勻強磁場的磁感應強度B₁是$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{mg（R+r）}{2v}}$．
（2）導體棒ab通過區(qū)域Ⅱ過程中電阻R產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{15m{v}^{2}R}{32（R+r）}$．
（3）B₁的取值范圍為B₁＞$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$，q與B₁的關系式為q=$\frac{2{B}_{2}mgd}{3{B}_{1}^{2}Lv}$  （B₁＞$\frac{1}{L}$$\sqrt{\frac{2mg（R+r）}{3v}}$）．

點評 本題是信息題，一方面根據(jù)導體棒勻速運動，受力平衡列式分析，另一方面，抓住題中信息分析速度與位移的關系，這是本題的關鍵．