Question

2．如圖所示，將一根絕緣金屬導線彎曲成一個完整的正弦曲線形狀，它通過兩個小金屬環(huán)與長直金屬桿M導通，圖中a、b間距離為2L，導線組成的正弦圖形頂部或底部到桿的距離都是d．桿的電阻不計，導線電阻為R，右邊虛線范圍內(nèi)存在磁感應強度大小為B，方向垂直于彎曲導線所在平面的勻強磁場，磁場區(qū)域的寬度為L，現(xiàn)在外力作用下導線沿桿正以恒定的速度v向右運動，t=0時刻a環(huán)剛從O點進入磁場區(qū)域，則下列說法正確的是（　�。�

• A． t=$\frac{L}{2v}$時刻，回路中的感應電動勢為Bdv
• B． t=$\frac{3L}{4v}$時刻，回路中的感應電動勢為2Bdv
• C． t=$\frac{L}{4v}$時刻，回路中的感應電流第一次開始改變方向
• D． 導線從進入磁場到全部出磁場，外力做功為$\frac{3{R}^{2}bbrfb5x^{2}L}{R}$

Answer 1

分析 由E=Blv求出感應電動勢，由E=Blv求出感應電動勢的表達式，然后根據(jù)該表達式分析；
金屬導線向右一共移動了3L，把全過程分為三個階段，因?qū)Ь�切割磁力線的有效長度是隨正弦規(guī)律變化的，所以產(chǎn)生的電流也是按正弦規(guī)律變化的正弦交流電，分別求出在這三段中的有效電動勢，結(jié)合運動時間可求出每段運動過程上產(chǎn)生的內(nèi)能，外力F所做的功全部轉(zhuǎn)化為了內(nèi)能．

解答 解：A、導線切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢：E=Blv=Byv，其中l(wèi)指的是有效長度，在本題中l(wèi)指的是縱坐標大小，即：
y=dsinθ=dsinωt=dsin$\frac{2π}{T}$t=dsin$\frac{2π}{\frac{L}{v}}$t=dsin$\frac{2πvt}{L}$，當t=$\frac{L}{2v}$時，導線切割磁感線的有效長度L=0，所以感應電動勢為0，故A錯誤；
B、當t=$\frac{3L}{4v}$，L為d，所以感應電動勢E=Bdv，故B錯誤；
C、由E=Bdvsin（vt）知，在vt=0.5L處（相當于π處）感應電流第一次改變方向，所以t=$\frac{L}{2v}$時刻，回路中的感應電流第一次開始改變方向，故C錯誤；
D、金屬導線在磁場中運動時，產(chǎn)生的電動勢為：e=Bvy，y為導線切割磁力線的有效長度．
在導線運動的過程中，y隨時間的變化為：y=dsinπ$\frac{x}{L}$=dsinπ$\frac{vt}{L}$=dsinωt，$\frac{πv}{L}$=ω，
則導線從開始向右運動到L的過程中（如圖）有：e₁=Bvy=Bvdsinπ$\frac{vt}{L}$=Bvdsinωt
則此過程中電動勢的最大值為：E_1max=Bvd，此過程中電動勢的有效值為：E₁=$\frac{{E}_{1max}}{\sqrt{2}}$=$\frac{Bvd}{\sqrt{2}}$，
導線從L向右運動到2L的過程中（如圖）有：e₂=2Bvy=2Bvdsinπ$\frac{vt}{L}$=2Bvdsinωt，
即：E_2max=2Bvd，
所以：E₂=2E₁=$\frac{2Bvd}{\sqrt{2}}$，
導線從2L向右運動到3L的過程與導線從開始向右運動L的過程相同（如圖），
則在這三段中運動的時間各為t，t=$\frac{L}{v}$，
在整個過程中產(chǎn)生的內(nèi)能為：Q=$\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{2}^{2}t}{R}+\frac{{E}_{1}^{2}t}{R}$，
解得：Q=$\frac{3{B}^{2}nlbl1rr^{2}Lv}{R}$
故D正確；
故選：D

點評 此類問題考察了切割磁感線產(chǎn)生的感應電動勢的有效長度，并以另外一種形式考察了交變電流的做功問題，解決此題的關(guān)鍵是把整個過程進行合理分段，分別求出各段的電動勢的有效值，即可求出全過程的電功了．難度較大．