Question

4．如圖所示的xOy坐標(biāo)系在豎直平面內(nèi)，x軸沿水平方向．在三、四象限內(nèi)有沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E；在第四象限有垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)大小B=E$\sqrt{\frac{5π}{6gl}}$．絕緣光滑桿PN與x軸成θ=30°角，分別交x、y軸于M、N兩點(diǎn)，且N點(diǎn)為桿的一個(gè)端點(diǎn)．穿在桿上的帶電小球a從桿上某點(diǎn)C由靜止開(kāi)始下滑，在MN間做勻速運(yùn)動(dòng)，從N點(diǎn)進(jìn)入第四象限后恰好能從x軸上的Q點(diǎn)垂直通過(guò)x軸，已知OQ=$\frac{3}{2}$l，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）帶電小球的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）CM間的距離L；
（3）在帶電小球從N點(diǎn)通過(guò)y軸上坐標(biāo)為（0，0.2m）的點(diǎn)J沿水平方向以速度v₀拋出一小球b，當(dāng)小球b到達(dá)x軸時(shí)恰好與向上運(yùn)動(dòng)的小球a相碰．已知l=0.01m，取πx=3，g=10m/s²，則小球b的速度v₀為多大？

Answer 1

分析 （1）帶電小球在MN間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則所受合力為零，所以只有重力與電場(chǎng)力相等，兩者抵消．
（2）由題意先確定帶電粒子軌跡的圓心，由幾何關(guān)系求出半徑的小，從而求出了帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，也是小小球到達(dá)M點(diǎn)的速度，從C點(diǎn)到M點(diǎn)根據(jù)機(jī)械能守恒或運(yùn)動(dòng)學(xué)公式就能求出C點(diǎn)到M點(diǎn)的距離．
（3）在y軸上的J點(diǎn)水平拋出一個(gè)b球，要使它與a球發(fā)生正碰，則必滿足時(shí)間和位置均相等，時(shí)間由a球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角決定，對(duì)b球，在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，從而求出a球拋出的速度．

解答 解（1）根據(jù)題意帶電小球在MN間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以有：
mg=Eq
所以$\frac{q}{m}$=$\frac{g}{E}$
（2）畫(huà)出帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，E是圓心．由幾何關(guān)系：OQ=rsin30°+r
從而求出半徑r=l
在磁場(chǎng)中，洛侖茲力提供向心力有：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
求得速度為：v=$\frac{Bqr}{m}$=$\sqrt{\frac{5πql{E}^{2}}{6{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{5πg(shù)lE}{6m}}$
從C點(diǎn)到M點(diǎn)，mgL=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立以上所有結(jié)論可得：L=$\frac{5πl(wèi)E}{12m}$
（3）對(duì)a球，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)周期為：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{Bq}$
將B的值代入得：T=2π$\sqrt{\frac{6l}{5πg(shù)}}$
則a球從N點(diǎn)到時(shí)Q點(diǎn)的時(shí)間為：t=$\frac{120°}{360°}T$=$\frac{2π}{3}\sqrt{\frac{6l}{5πg(shù)}}$  
將l=0.01m，取π=3，g=10m/s²代入得到：t=0.04s
而水平位移為：x=OQ=$\frac{3}{2}l$=1.5×10^-2m
所以b球平拋的初速度為：v₀=$\frac{x}{t}$=0.375m/s
答：（1）帶電小球的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{g}{E}$．
（2）CM間的距離L為$\frac{5πl(wèi)E}{12m}$．
（3）在帶電小球從N點(diǎn)通過(guò)時(shí)y軸上坐標(biāo)為（0，0.2m）的點(diǎn)J沿水平方向以速度v₀拋出一小球b，當(dāng)小球b到達(dá)x軸時(shí)恰好與向上運(yùn)動(dòng)的小球a相碰．已知l=0.01m，取π=3，g=10m/s²，則小球b的速度v₀為0.375m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及到以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：①在復(fù)合場(chǎng)中沿直線運(yùn)動(dòng)的條件--是合力與速度共線，但若所受力中有些力隨速度而變化時(shí)，則只能做勻速直線運(yùn)動(dòng)．②在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只能是合力指向圓心，即其他力抵消，而最終合力是洛侖茲力．③平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，已知水平位移和豎直位移和重力加速度，就能求出平拋的初速度．