Question

14．如圖所示，質量為m的小物塊放在長直水平面上，用水平細線緊繞在半徑為R、質量也為m的薄壁圓筒上．t=0時刻，圓筒在電動機帶動下由靜止開始繞豎直中心軸轉動，轉動中角速度滿足，ω=βt（β為已知常數(shù)），物塊和地面之間動摩擦因數(shù)為μ，求：
（1）物塊做何種運動、小物塊運動中受到的拉力；
（2）從開始運動至t=t₀時刻，小物塊的位移；
（3）從開始運動至t=t₀時刻，電動機做了多少功．

Answer 1

分析 （1）圓筒邊緣的線速度與物塊前進的速度大小相等，由v=ωR和ω=βt結合分析物塊的運動情況．由牛頓第二定律求拉力．
（2）根據(jù)勻加速運動的位移公式求解小物塊的位移．
（3）根據(jù)動能定理求出電動機做的功．

解答 解：（1）圓筒邊緣線速度與物塊前進速度大小相同，根據(jù)v=ωR=Rβt，知物塊的速度v與時間t成正比，故物塊做初速為零的勻加速直線運動；
物塊加速度為 a=Rβ，根據(jù)物塊受力，由牛頓第二定律得：
T-μmg=ma
則細線拉力為：T=μmg+mRβ
（2）從開始運動至t=t₀時刻，小物塊的位移是：
x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}Rβ{t}_{0}^{2}$；
（3）從開始運動至t=t₀時刻，根據(jù)動能定理得：
W_電+W_f=$\frac{1}{2}•2m$v²，W_f=-μmgx
則得電動機做功為：
W_電=$m{R}^{2}{β}^{2}{t}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}μmgRβ{t}_{0}^{2}$
答：（1）物塊做初速為零的勻加速直線運動，小物塊運動中受到的拉力是μmg+mRβ．
（2）從開始運動至t=t₀時刻，小物塊的位移是$\frac{1}{2}Rβ{t}_{0}^{2}$．
（3）從開始運動至t=t₀時刻，電動機做了$m{R}^{2}{β}^{2}{t}_{0}^{2}$+$\frac{1}{2}μmgRβ{t}_{0}^{2}$的功．

點評 本題的關鍵是抓住物塊的速度與圓筒邊緣的線速度相等，推導出滑塊的線速度公式進行分析，將轉動的研究轉化為平動的研究進行分析．