Question

17．2013年12月2日1時30分我國成功發(fā)射“嫦娥三號”于12月14日21時11分在月球正面的虹灣以東地區(qū)著陸，12月15日凌晨，“嫦娥三號”搭載的“玉兔”號月球探測器成功與“嫦娥三號”進行器件分離，我國航天器首次實現(xiàn)在地外天體的軟著陸，表明中國航天技術(shù)獲得了重大進展．某同學(xué)提出設(shè)想：“玉兔”號月球車登陸月球后，利用月球車附屬機械裝置進行科學(xué)實驗，讓單擺在月球表面做小幅度振動，測出單擺擺長為L，單擺振動周期為T（已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G，可認為此月球表面的物體受到的重力等于物體與月球之間的萬有引力），則可求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）單擺在月球表面做小幅度振動時，其周期公式為T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$，g是月球表面的重力加速度．由此公式變形即可求得g．
（2）物體在月球表面時，萬有引力等于重力，列式即可求得月球的質(zhì)量．
（3）根據(jù)重力提供向心力，可計算月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）根據(jù)單擺周期公式T=2$π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$，解得：g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$
（2）在月球表面，物體受到的重力等于物體與月球間的萬有引力，設(shè)物體的質(zhì)量為m₀，
 有 G $\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g
解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{4{π}^{2}L{R}^{2}}{G{T}^{2}}$
（3）設(shè)月球的第一宇宙速度為v，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m
根據(jù)重力提供向心力，則
  m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mg
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\frac{2π}{T}$$\sqrt{RL}$
答：
（1）月球表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}L{R}^{2}}{G{T}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度v為$\frac{2π}{T}$$\sqrt{RL}$．

點評 本題是單擺周期公式和萬有引力的綜合應(yīng)用，它們之間聯(lián)系的紐帶是重力加速度g．