Question

9．半圓形光滑軌道固定在水平地面上，其軌道平面與地面垂直，物體m₁，m₂同時(shí)由軌道左、右兩端的最高點(diǎn)釋放，兩者碰撞后黏在一起運(yùn)動(dòng)，最高能上升到軌道M點(diǎn)，已知OM與豎直方向夾角為60°，則兩物體的質(zhì)量之比m₁：m₂為$（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{2}+1）$．

Answer 1

分析 先根據(jù)動(dòng)能定理解出兩小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度，再用動(dòng)量守恒解出碰撞后的共同瞬時(shí)速度，最后兩小球上升過程可列出動(dòng)能定理表達(dá)式解題．

解答 解：兩球到達(dá)最低的過程由動(dòng)能定理得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²
解得：v=$\sqrt{2gR}$
所以兩球到達(dá)最低點(diǎn)的速度均為：$\sqrt{2gR}$
設(shè)向左為正方向，則m₁的速度v₁=-$\sqrt{2gR}$，則m₂的速度v₂=$\sqrt{2gR}$，
由于碰撞瞬間動(dòng)量守恒得：m₂v₂+m₁v₁=（m₁+m₂）v_共
解得：v_共=$\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}\sqrt{2gR}$     ①
二者碰后粘在一起向左運(yùn)動(dòng)，最高能上升到軌道M點(diǎn)，
對此過程由動(dòng)能定理得：-（m₁+m₂）gR（1-cos60°）=0-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_共²          ②
由①②解得：$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}{（{m}_{2}-{m}_{1}）^{2}}$=2
整理地：m₁：m₂=$（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{2}+1）$
故答案為：$（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{2}+1）$

點(diǎn)評 注意動(dòng)量守恒的條件的應(yīng)用：物體之間發(fā)生相互作用的過程中，如果沒有外力作用，那么相互作用的物體的總動(dòng)量保持不變，在解題時(shí)注意選擇合適的正方向．