Question

8．如圖1，在光滑水平桌面存在一沿x方向均勻增大的有界穩(wěn)恒磁場(chǎng)，其方向與桌面垂直，變化率k=0.5T/m，x=0處磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度B₀=0.5T，l_ab=0.4m，l_bc=1m，質(zhì)量m=0.1kg，電阻為R=0.2Ω的長(zhǎng)方形線框在外力作用下，從x=0處以某一初速度向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中線框中的電流如圖2所示，求：
（1）線框的初速度v₀；
（2）線框cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)前瞬間的速度v₁；
（3）線框從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中外力的平均功率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求出線框的初速度；
（2）線框cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)前瞬間，求出ab邊所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求解；
（3）根據(jù)感應(yīng)電量求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再結(jié)合能量守恒求出外力做的功，最后求出平均功率；

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，ab邊切割磁感線的公式$E={B}_{0}^{\;}{l}_{ab}^{\;}{v}_{0}^{\;}$①
由歐姆定律得E=IR②
聯(lián)立①②得${B}_{0}^{\;}{l}_{ab}^{\;}{v}_{0}^{\;}=IR$
解得：${v}_{0}^{\;}=\frac{IR}{{B}_{0}^{\;}{l}_{ab}^{\;}}=\frac{2×0.2}{0.5×0.4}=2m/s$
（2）根據(jù)題意$B={B}_{0}^{\;}+kx$
x=1時(shí)：B₁=0.5+0.5×1=1T
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律，有：${B}_{1}^{\;}{l}_{ab}^{\;}{v}_{1}^{\;}=IR$
代入數(shù)據(jù)：$1×0.4{v}_{1}^{\;}=2×0.2$
解得：${v}_{1}^{\;}=1m/s$
（3）x=2m時(shí)：B₂=0.5+0.5×2=1.5T
${B}_{2}^{\;}{l}_{ab}^{\;}v-{B}_{1}^{\;}{l}_{ab}^{\;}v=IR$
代入數(shù)據(jù)：1.5×0.4v-1×0.4v=2×0.2
解得：v=2m/s
線框從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中磁通量的變化量為△Φ，平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$
平均電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$
電量$q=\overline{I}•△t$
聯(lián)立得$q=\frac{△Φ}{R}$
因?yàn)锽隨x均勻增加，$B=\frac{{B}_{1}^{\;}+{B}_{2}^{\;}}{2}=\frac{1+1.5}{2}=1.25T$
△Φ=BS=1.25×0.4×1=0.5Wb
$q=\frac{△Φ}{R}=It$
即$\frac{0.5}{0.2}=2t$
解得t=1.25s
根據(jù)能量守恒定律，有
$W=△{E}_{k}^{\;}+{I}_{\;}^{2}Rt$=$0+{2}_{\;}^{2}×0.2×1.25$=1J
外力做功的平均功率$\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{1}{1.25}W=0.8W$
答：（1）線框的初速度${v}_{0}^{\;}$為2m/s；
（2）線框cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)前瞬間的速度${v}_{1}^{\;}$為1m/s；
（3）線框從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中外力的平均功率為0.8W

點(diǎn)評(píng) 考查法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、能量守恒定律等的規(guī)律的應(yīng)用與理解，運(yùn)動(dòng)過程中回路電流不變，是本題解題的突破口．