Question

【題目】如圖為某種質(zhì)譜儀的結(jié)構(gòu)的截面示意圖，該種質(zhì)譜儀由加速電場、靜電分析器、磁分析器及收集器組成。其中靜電分析器由兩個(gè)相互絕緣且同心的四分之一圓柱面的金屬電極K1和K2構(gòu)成，兩柱面電極的半徑分別為R1和R2，O1點(diǎn)是圓柱面電極的圓心。S1和S2分別為靜電分析器兩端為帶電粒子進(jìn)出所留的狹縫。靜電分析器中的電場的等勢面在該截面圖中是一系列以O1為圓心的同心圓弧，圖中虛線A是到K1、K2距離相等的等勢線。磁分析器中有以O2為圓心的四分之一圓弧的區(qū)域，該區(qū)域有垂直于截面的勻強(qiáng)磁場，磁場左邊界與靜電分析器的右邊界平行。P1為磁分析器上為帶電粒子進(jìn)入所留的狹縫，O2P1的連線與O1S1的連線垂直。

離子源不斷地發(fā)出正離子束，正離子束包含電荷量均為q的兩種質(zhì)量分別為m、m′(m<m′<2m)的同位素離子，其中質(zhì)量為m的同位素離子個(gè)數(shù)所占的百分比為α。離子束從離子源發(fā)出的初速度可忽略不計(jì)，經(jīng)電壓為U的加速電場加速后，全部從狹縫S1沿垂直于O1S1的方向進(jìn)入靜電分析器。穩(wěn)定情況下，離子束進(jìn)入靜電分析器時(shí)的等效電流為I。進(jìn)入靜電分析器后，質(zhì)量為m的同位素離子沿等勢線A運(yùn)動并從狹縫S2射出靜電分析器，而后由狹縫P1沿垂直于O2P1的方向進(jìn)入磁場中，偏轉(zhuǎn)后從磁場下邊界中點(diǎn)P2沿垂直于O2P2的方向射出，最后進(jìn)入收集器。忽略離子的重力、離子之間的相互作用、離子對場的影響和場的邊緣效應(yīng)。

(1)求靜電分析器中等勢線A上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度E的大小；

(2)通過計(jì)算說明質(zhì)量為m′的同位素離子能否從狹縫S2射出電場并最終從磁場下邊界射出；

(3)求收集器單位時(shí)間內(nèi)收集的離子的質(zhì)量M0

Answer 1

【答案】(1) (2)能從磁場下邊界射出(3)

【解析】

根據(jù)動能定理求得加速后獲得的速度，根據(jù)運(yùn)動軌跡判斷出在靜電分析器中的半徑，利用電場力提供向心力求得點(diǎn)場強(qiáng)度；根據(jù)動能定理求得在加速電場中獲得的速度，在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供粒子作圓周運(yùn)動所需的向心力，根據(jù)幾何關(guān)系求得，即可判斷；有離子都能進(jìn)入磁場并從磁場下邊界射出進(jìn)入收集器，由題意可知，進(jìn)入收集器的離子中，質(zhì)量為m的離子個(gè)數(shù)，質(zhì)量為m′的離子個(gè)數(shù)，即可求得；

解：(1)由題意可知，等勢線A的半徑為：

質(zhì)量為m的離子在靜電分析器中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律有：

設(shè)質(zhì)量為m的離子從狹縫S,進(jìn)入靜電分析器時(shí)的速度為v，則其在加速電場中加速過程中，根據(jù)動能定理有：

解得：

(2)設(shè)質(zhì)量為m′的離子經(jīng)加速電場加速后，速度為v′，由動能定理可得：

質(zhì)量為m′的離子在電場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，所需要的向心力為：解得：

即該離子所受電場力，恰好等于它若做勻速圓周運(yùn)動的向心力，因此這個(gè)離子仍然在靜電分析器中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動．故質(zhì)量為m′的離子能從狹縫S2射出，仍從狹縫P1進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動

設(shè)質(zhì)量為m′的離子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動的半徑為r′，，若質(zhì)量為m′的離子能從磁場下邊界射出，則出射位置到O2距離為x須滿足的條件為

質(zhì)量為m的離子在磁分析器中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律有：

離子在磁分析器中做勻速圓周運(yùn)動的半徑：，

由題意可知，質(zhì)量為m的離子圓周運(yùn)動的軌道半徑r=d

所以質(zhì)量為m′的離子在磁分析器中做勻速圓周運(yùn)動的半徑為：

因，故

則由幾何關(guān)系有：

解得：，所以質(zhì)量為m′的離子能從磁場下邊界射出
(3)時(shí)間△t內(nèi)能進(jìn)入靜電分析器的離子個(gè)數(shù)：

因所有離子都能進(jìn)入磁場并從磁場下邊界射出進(jìn)入收集器，由題意可知，進(jìn)入收集器的離子中，質(zhì)量為m的離子個(gè)數(shù)，質(zhì)量為m′的離子個(gè)數(shù)為：

解得：