Question

19．如圖所示，圓筒的內(nèi)壁光滑，底端固定在豎直轉(zhuǎn)軸OO'，圓筒可隨軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它與水平面的夾角始終為45°．在圓筒內(nèi)有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧連接的相同小球A、B（小球的直徑略小于圓筒內(nèi)徑），A、B質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)為k．當(dāng)圓筒靜止時(shí)A、B之間的距離為L(zhǎng)（L遠(yuǎn)大于小球直徑）．現(xiàn)讓圓筒開始轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度從零開始緩慢增大，當(dāng)角速度增大到ω₀時(shí)保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)小球B對(duì)圓筒底部的壓力恰好為零．重力加速度大小為g．
（1）求圓筒的角速度從零增大至ω₀的過(guò)程中，彈簧彈性勢(shì)能的變化量；
（2）用m、g、L、k表示小球A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能E_k．

Answer 1

分析 （1）系統(tǒng)靜止時(shí)，以A位研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件和胡克定律結(jié)合求出設(shè)彈簧的壓縮量．當(dāng)角速度增大到ω₀時(shí)保持勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，B對(duì)圓筒底部的壓力恰好為零時(shí)，以B研究對(duì)象，求出彈簧的壓縮量，從而分析彈簧彈性勢(shì)能的改變量．
（2）A在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由合力充當(dāng)向心力，分析其受力情況，根據(jù)牛頓第二定律求出A轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度，再得到動(dòng)能．

解答 解：（1）系統(tǒng)靜止時(shí)，設(shè)彈簧的壓縮量為x₁，以A位研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件和胡克定律有：kx₁=mgsin45°
B對(duì)圓筒底部的壓力恰好為零時(shí)，設(shè)彈簧的壓縮量為x₂，以B為研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件和胡克定律有：kx₂=mgsin45°
可得 x₁=x₂，故彈簧彈性勢(shì)能的改變量為：△E_p=0
（2）設(shè)A做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則：R=（L+x₁+x₂）cos45°
A在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律
水平方向有：$k{x_2}cos{45°}+Nsin{45°}=m\frac{v^2}{R}$
豎直方向有：Ncos45°=kx₂sin45°+mg
聯(lián)立解得：${E_k}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{{\sqrt{2}mgL}}{2}+\frac{{{m^2}{g^2}}}{k}$
答：（1）圓筒的角速度從零增大至ω₀的過(guò)程中，彈簧彈性勢(shì)能的變化量為0；
（2）小球A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能E_k為$\frac{\sqrt{2}mgL}{2}$+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了共點(diǎn)力平衡和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道小球A在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律進(jìn)行研究．