Question

13．如圖所示，兩根等高光滑的四分之一圓弧軌道，半徑為r，間距為L(zhǎng)，軌道電阻不計(jì)，在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，現(xiàn)有一根長(zhǎng)度稍大于L，電阻為$\frac{1}{3}R$，質(zhì)量為m的金屬棒從軌道最低位置cd開(kāi)始，在拉力作用下以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)至ab處，求：
（1）初始時(shí)刻cd兩端的電壓；
（2）在該過(guò)程中R上產(chǎn)生的熱量；
（3）拉力做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)串聯(lián)電路特點(diǎn)求解初始時(shí)刻cd兩端的電壓；
（2）分析電路中電磁感應(yīng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流的特點(diǎn)，求出電流的有效值，根據(jù)焦耳定律求解R上產(chǎn)生的熱量；
（3）由動(dòng)能定理可得拉力做的功．

解答 解：（1）剛進(jìn)入時(shí)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv₀，
根據(jù)串聯(lián)電路特點(diǎn)可知：U_外：U_內(nèi)=3：1，
解得：${U_{cd}}={U_外}=\frac{3}{4}BL{v_0}$
（2）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于矩形線(xiàn)圈一條邊框在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)，因電磁感應(yīng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流為正、余弦交流電，所以有：
${E_m}=BLr\frac{v_0}{r}=BL{v_0}$
電流的有效值為：$I=\frac{{\frac{E_m}{{\sqrt{2}}}}}{{R+\frac{R}{3}}}$
所以R上產(chǎn)生的熱量為：
${Q_R}={I^2}Rt$，
經(jīng)過(guò)的時(shí)間為：$t=\frac{{r\frac{π}{2}}}{v_0}$，
解得：${Q_R}=\frac{{9π{B^2}{L^2}{v_0}}}{64R}r$；
（3）由動(dòng)能定理可得：${W_F}-mgr+{Q_總}(cāng)=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
其中：${Q_總}(cāng)={I^2}（R+\frac{R}{3}）t$，
解得：${W_F}=mgr+\frac{{3π{B^2}{L^2}{v_0}}}{16R}r$．
答：（1）初始時(shí)刻cd兩端的電壓為$\frac{3}{4}BL{v}_{0}$；
（2）在該過(guò)程中R上產(chǎn)生的熱量為$\frac{9π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{64R}r$；
（3）拉力做的功為$mgr+\frac{3π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{16R}r$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解．本題要知道感應(yīng)電流的特點(diǎn)，能夠利用有效值進(jìn)行求解熱量．