Question

5．如圖，在寬度分別為l₁和l₂的兩個毗鄰的條形區(qū)域中分別有勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直于紙面向里，電場方向與電、磁場分界線平行向右．一電荷量為+q（q＞0），質量為m的帶電粒子以速率v從磁場區(qū)域上邊界的P點斜射入磁場，然后以垂直于電、磁場分界線的方向進入電場，最后從電場邊界上的Q點射出．已知PQ垂直于電場方向，粒子軌跡與電、磁場分界線的交點到PQ的距離為d．不計重力，求：
（1）勻強磁場的磁感應強度B的大小；
（2）勻強電場的電場強度E的大小；
（3）若l₁=$\sqrt{3}$d，求粒子在磁場和電場中運動的總時間t．

Answer 1

分析 （1）由題意得出粒子運動的軌跡，根據幾何關系可求得粒子半徑，再根據洛倫茲力充當向心力即可求得磁感應強度；
（2）粒子在電場中做平拋運動，根據運動的合成和分解規(guī)律可求得電場強度；
（3）根據粒子在磁場中轉過的圓心角可求出粒子在磁場中運動的時間，根據速度公式可求得粒子在電場中運動的時間，即可求得總時間．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，如圖所示．

由于粒子在分界線處的速度與分界線垂直，圓心O應在分界線上，OP長度即為粒子運動的圓弧的半徑R．由幾何關系得
R²=l₁²+（R-d）²
設粒子的質量和所帶正電荷分別為m和q，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯立解得B=$\frac{2mdv}{q（{L}_{1}^{2}+d）^{2}}$
（2）粒子進入電場后做類平拋運動，設粒子加速度大小為a，粒子在電場中運動的時間t₂
由牛頓第二定律得qE=ma
由運動學公式有d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
l₂=vt₂
解得E=$\frac{2md{v}^{2}}{q{L}_{2}^{2}}$
（3）因l₁=$\sqrt{3}$d，由幾何關系得，粒子在磁場中轉過的圓心角α=60°
所以粒子在磁場中運動的時間t₁=$\frac{60}{360}T$=$\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πd}{3v}$
粒子在電場中運動的時間為t₂=$\frac{{L}_{2}}{v}$
所以粒子運動的總時間t=t₁+t₂=$\frac{2πd}{3v}$+$\frac{{L}_{2}}{v}$
答：（1）勻強磁場的磁感應強度B的大小為$\frac{2mdv}{q（{L}_{1}^{2}+d）^{2}}$；
（2）勻強電場的電場強度E的大小$\frac{2md{v}^{2}}{q{L}_{2}^{2}}$；
（3）若l₁=$\sqrt{3}$d，求粒子在磁場和電場中運動的總時間t為$\frac{2πd}{3v}$+$\frac{{L}_{2}}{v}$．

點評 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運動分析，要注意明確帶電粒子在電場中做類平拋運動，根據運動的合成和分解求解；而在磁場中做圓周運動，根據幾何關系以及洛倫茲力充當向心力規(guī)律可求得總時間．