Question

9．假設(shè)某天你在一個(gè)半徑為R的星球上，手拿一只小球在星球表面h高度處無初速度釋放，測得小球經(jīng)時(shí)間t落地．已知在距離該星球表面的高度等于該星球半徑處，有一衛(wèi)星繞該星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求：
（1）該星球的第一宇宙速度v；
（2）該衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式得出星球表面的重力加速度，結(jié)合重力提供向心力求出第一宇宙速度．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出衛(wèi)星的周期．

解答 解：（1）根據(jù)h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，
根據(jù)$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
軌道半徑r=2R，
根據(jù)萬有引力等于重力有：GM=gR²，
聯(lián)立解得T=$4πt\sqrt{\frac{R}{h}}$．
答：（1）該星球的第一宇宙速度v為$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$；
（2）該衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期T為$4πt\sqrt{\frac{R}{h}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：萬有引力提供向心力，萬有引力等于重力，本題通過自由落體運(yùn)動(dòng)得出星球表面的重力加速度是關(guān)鍵．