Question

14．質(zhì)量為m的長木板A靜止在光滑水平面上，另兩個(gè)質(zhì)量也是m的鐵塊B、C同時(shí)從A的左右兩端滑上A的上表面，初速度大小分別為v和2v，B、C與A間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ．已知以后的運(yùn)動(dòng)過程中B、C始終沒有相撞．
（1）為使B、C不相撞，A木板至少多長．
（2）試求從B、C滑上長木板A后，到不再有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)A的位移．
（3）B、C在A上相對(duì)滑動(dòng)的距離之比d_B：d_C．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出A、B、C共同的速度，結(jié)合能量守恒求出木板至少多長．
（2）B、C都相對(duì)于A滑動(dòng)時(shí)，A所受合力為零，保持靜止，然后A、B保持相對(duì)靜止，C相對(duì)A做勻減速，AB做勻加速，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出從B、C滑上長木板A后，到不再有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)A的位移．
（3）分別求出A、B相對(duì)靜止前后相對(duì)靜止后B、C相對(duì)A滑動(dòng)的距離，從而得出B、C在A上相對(duì)滑動(dòng)的距離之比．

解答 解：（1）A、B、C組成的系統(tǒng)，動(dòng)量守恒，設(shè)當(dāng)三者速度相等時(shí)速度為v′，規(guī)定向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得，
2mv-mv=3mv′，
解得$v′=\frac{v}{3}$
全過程系統(tǒng)動(dòng)能的損失都將轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，而摩擦生熱Q=fd=μmgd，
由能量守恒定律列式：$μmgd=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}m（2v）^{2}-\frac{1}{2}•3mv{′}^{2}$，
解得d=$\frac{7{v}^{2}}{3μg}$．這就是A木板應(yīng)該具有的最小長度．
（2）B、C都相對(duì)于A滑動(dòng)時(shí)，A所受合力為零，保持靜止．B剛好相對(duì)于A靜止時(shí)，C速度為v，A開向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，這段加速經(jīng)歷時(shí)間為△t₂=$\frac{v-\frac{v}{3}}{a}=\frac{\frac{2}{3}v}{μg}=\frac{2v}{3μg}$，
A的加速度${a}_{A}=\frac{μmg}{2m}=\frac{μg}{2}$，
物體A的位移x=$\frac{1}{2}{a}_{A}△{{t}_{2}}^{2}=\frac{{v}^{2}}{9μg}$．
（3）第一階段B對(duì)A的位移就是對(duì)地的位移：s_B=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$，這段時(shí)間為△t₁=$\frac{v}{μg}$．
B在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度$\overline{{v}_{B}}=\frac{v}{2}$，C在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度$\overline{{v}_{C}}=\frac{2v+v}{2}=\frac{3v}{2}$，
C的平均速度是其3倍，因此C對(duì)A的位移是其3倍，即s_C=$\frac{3{v}^{2}}{2μg}$；
第二階段C平均速度是$\overline{{v}_{C}′}=\frac{v+\frac{v}{3}}{2}=\frac{2v}{3}$，時(shí)間為△t₂=$\frac{2v}{3μg}$，則C對(duì)地位移是${s}_{C}′=\overline{{v}_{C}′}△{t}_{2}=\frac{4{v}^{2}}{9μg}$，
A對(duì)地位移是${s}_{A}=\frac{v{′}^{2}}{2{a}_{A}}=\frac{{v}^{2}}{9μg}$，
因此C相對(duì)于A位移是s_C^″=${s}_{C}′-{s}_{A}=\frac{{v}^{2}}{3μg}$，
故B、C與A間的相對(duì)位移大小依次是d_B=s_B=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$，d_C=s_C+s_C″=$\frac{11{v}^{2}}{6μg}$，因此d_B：d_C=3：11．
答：（1）為使B、C不相撞，A木板至少長$\frac{7{v}^{2}}{3μg}$．
（2）從B、C滑上長木板A后，到不再有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的這段時(shí)間內(nèi)A的位移為$\frac{{v}^{2}}{9μg}$．
（3）B、C在A上相對(duì)滑動(dòng)的距離之比為3：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒和能量守恒、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，對(duì)于第一問，通過動(dòng)量和能量的觀點(diǎn)解決比較簡捷，對(duì)于第二問和第三問，必須要理清A、B、C在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．