Question

17．如圖a所示的平面坐標系xOy，在整個區(qū)域內充滿了勻強磁場，磁場方向垂直坐標平面，磁感應強度B隨時間變化的關系如圖b所示，開始時刻，磁場方向垂直紙面向里（如圖）．t=0時刻，有一帶正電的粒子（不計重力）從坐標原點O沿x軸正向進入磁場，初速度為v₀=2×10³m/s．已知正粒子的比荷為1.0×10⁴C/kg，其它有關數(shù)據(jù)見圖中標示（磁感應強度B取垂直紙面向里為正）．試求：

（1）t=$\frac{4π}{3}$×10^-4s時刻，粒子的坐標．
（2）粒子從開始時刻起經(jīng)多長時間第一次到達y軸．
（3）粒子是否還可以返回坐標原點O？如果可以，則經(jīng)多長時間第一次返回坐標原點O？

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力可以得到軌道半徑，由軌道半徑可得周期，由磁場的變化可以畫出在第一段時間內粒子的運動軌跡，由運動軌跡的幾何關系可得到粒子的坐標．
（2）依據(jù)第一問得到的結果，可以得到在第二，第三時間段內的運動軌跡，由圖可知粒子恰好在第三段時間末到達y軸，由此可得時間
（3）依據(jù)磁場變化的周期性，可知粒子的運動也存在對應的周期性，可做粒子的軌跡圖，由圖可知其返回的時間．

解答 解：（1）粒子進入磁場后在磁場中作圓周運動，設半徑為R，周期為T，由洛侖茲力提供向心力，
有qvB=$m\frac{v2}{R}$ 得：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2×103×10-4}{0.5}$=0.4m
   又T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π×10-4}{0.5}$=4π×10^-4s
在磁場變化的第一段時間內，粒子運動的周期數(shù)為：N=$\frac{1}{3}$（個運動周期）運動軌跡對應的圓心角為120°，作出粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示．第一段時間末，粒子的坐標為：
x=Rcos30°=0.2$\sqrt{3}$m，y=R+$\overline{{O}_{1}A}$sin30°=0.6m
所求時刻，粒子的坐標（0.2$\sqrt{3}$m，0.6m） 
（2）根據(jù)第（1）問可知，粒子在第一個磁場變化的時間段內時，運動了N₁=$\frac{1}{3}$個周期，在第二個時間段內運動的周期數(shù)為N₂=$\frac{1}{6}$（個周期） 
所對應的運動軌跡圓心角為60°．運動軌跡如圖所示．

第三個時間段內同樣運動了：N₃=$\frac{1}{3}$（個周期），
對應的圓心角為120°粒子運動軌跡如圖，粒子恰好在第三段時間末通過y軸故運動時間為t=$\frac{π}{3}$×10^-3s s  
（3）粒子在磁場中作周期性運動，根據(jù)對稱性和周期性，畫出粒子的部分運動軌跡如圖，其中O₂、O₆、O₁₀構成一個正三邊形．
故粒子在磁場中一共運動了6個大圓弧和6個小圓弧，故從原點出發(fā)到回到原點的總時間為t'=6×$\frac{4π}{3}$×10^-4s+6×$\frac{2π}{3}$×10^-4s=12π×10^-4s  
答：（1）t=$\frac{4π}{3}$×10^-4s時刻，粒子的坐標（0.2$\sqrt{3}$m，0.6m）．
（2）粒子從開始時刻起經(jīng)運動時間為為$\frac{π}{3}$×10^-3s 到達y軸．
（3）粒子可以返回原點，所經(jīng)歷的時間為12π×10^-4s

點評 本題重點是對磁場周期性的應用，磁場的周期性一定就會由粒子運動周期性的變化，故只要得到一個周期的運動軌跡，就可以重復畫軌跡，直到得到想要的結果．本題由于粒子的運動軌跡比較復雜，故考察的難度相對較大．