Question

7．“嫦娥一號”的成功發(fā)射，為實現(xiàn)中華民族幾千年的奔月夢想邁出了重要的一步．已知“嫦娥一號”繞月飛行軌道近似圓周，距月球表面高度為H，飛行周期為T，月球的半徑為R，引力常數(shù)為G．試求：
（1）月球的質(zhì)量M．
（2）如果在月球表面做平拋運動實驗，物體拋出時離地面高度為h（h遠小于R），水平位移為L，則物體拋出時的初速度是多少？

Answer 1

分析 （1）“嫦娥一號”圍繞月球做圓周運動過程中，月球?qū)Α版隙鹨惶枴钡娜f有引和提供“嫦娥一號”的向心力，由此列式可以求出月球的質(zhì)量M；
（2）在月球表面，月球?qū)ξ矬w的萬有引力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面的重力加速度g₀．然后由平拋運動的特點即可求出物體的初速度．

解答 解：（1）設(shè)“嫦娥一號”質(zhì)量為m₁，圓周運動時，萬有引力提供向心力，則有：
$\frac{{GMm{\;}_1}}{{{{（R+H）}^2}}}={m_1}\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+H）$…①
所以：$M=\frac{{4{π^2}{{（R+H）}^3}}}{{G{T^2}}}$…②
（2）設(shè)月球表面的重力加速度為g₀，質(zhì)量為m的物體在月球表面的重力等于萬有引力有：
$\frac{GMm}{R^2}=m{g_0}$…③
設(shè)平拋物體的初速度為υ₀，飛行時間為t，則有：$h=\frac{1}{2}{g_o}{t^2}$…④
L=υ₀t…⑤
由②③④⑤解得：${υ_0}=\frac{2πL（R+H）}{RT}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$…⑥
答：（1）月球的質(zhì)量是$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）如果在月球表面做平拋運動實驗，物體拋出時離地面高度為h（h遠小于R），水平位移為L，則物體拋出時的初速度是$\frac{2πL（R+H）}{RT}\sqrt{\frac{R+H}{2h}}$．

點評 該題考查萬有引力定律的一般應(yīng)用，能正確根據(jù)衛(wèi)星運動時的向心力由萬有引力提供和量球表面的重力和萬有引力相等列式求解有關(guān)質(zhì)量、重力加速度問題．