Question

5．一宇宙飛船繞質(zhì)量為M的行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，已知引力常量為G，行星的半徑為R．求：
（1）飛船繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度v；
（2）飛船繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T；
（3）行星表面的重力加速度g．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于向心力，可列式求解；
（2）根據(jù)星球表面重力等于萬有引力，可列式求解；
（3）根據(jù)在星球表面，萬有引力等與向心力，列式求解．

解答 解：（1）繞行星運(yùn)動(dòng)的宇宙飛船：$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$
（2）繞行星運(yùn)動(dòng)的宇宙飛船：$T=\frac{2πr}{v}$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
（2）繞行星運(yùn)動(dòng)的宇宙飛船：$G\frac{Mm}{r^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}r$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
（3）在行星表面：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
解得：$g=\frac{GM}{R^2}$
答：（1）飛船繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度是$\sqrt{\frac{GM}{r}}$；
（2）飛船繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$；
（3）行星表面的重力加速度是$\frac{GM}{{R}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵抓住星球表面重力等于萬有引力，人造衛(wèi)星的萬有引力等于向心力．