Question

16．如圖所示，質量m=1kg的小球從距水平面h=6m的粗糙斜面上由靜止開始釋放，運動到B點時無能量損耗，水平面BC是長為2m的粗糙平面，與半徑R=1m的光滑半圓形軌道CD相切于C點，其中圓軌道在豎直平面內，D為軌道的最高點，已知斜面傾角θ=37°，小球與AB、BC之間的動摩擦因數均為μ=0.2（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
試分析判斷小球能否運動到最高點D，若能到達，求此時小球對圓軌道的壓力；若不能，請說明原因．

Answer 1

分析 假設小球能運動到D點，對整個過程，運用動能定理求出小球到達D點的速度，與臨界速度進行比較，來判斷即可．再由牛頓運動定律求小球對軌道的壓力．

解答 解：假設小球能運動到D點，且設小球運動到D點時的速度為v_D，對小球從A點運動到D過程，由動能定理得
 mg（h-2R）-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$-μmg•x_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得 v_D²=40（m/s）²                                           
要能通過D點，須滿足m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$≥mg     
解得臨界速度 v₀²=10（m/s）²
所以小球能夠到達最高點D點                                   
設小球運動到D點時圓軌道對小球的支持為F_N，方向豎直向下
結合圓周運動知識可得 mg+F_N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$                         
解得 F_N=30N                                               
由牛頓第三定律可知，此時小球對圓軌道的壓力大小為30N，方向豎直向上 
答：小球能到達D點，此時小球對圓軌道的壓力為30N，方向豎直向上．

點評 解決本題的關鍵要掌握圓周運動的臨界條件，知道涉及力在空間的效果要考慮到動能定理．