Question

（2006?淮安二模）將一測(cè)力傳感器連接到計(jì)算機(jī)上就可以測(cè)量快速變化的力．圖甲表示小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿固定的光滑半球形容器內(nèi)壁在豎直平面的AA′之間來(lái)回滑動(dòng)，AA′點(diǎn)與O 點(diǎn)連線與豎直方向之間的夾角相等且都為θ，均小于10°，圖乙表示滑塊對(duì)器壁的壓力F隨時(shí)間t變化的曲線，且圖中t=0為滑塊從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻．試根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中（包括圖中）所給出的信息，求小滑塊的質(zhì)量、容器的半徑及滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的守恒量．（g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）θ很小，小滑塊在AA′之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)（單擺運(yùn)動(dòng)），根據(jù)圖乙得出單擺的周期，再根據(jù)T=2π

R g

得容器的半徑；
（2）滑塊在最高點(diǎn)，對(duì)器壁的壓力最小，為F_min=mgcosθ，在最低點(diǎn)速度最大，沿半徑方向上的合力提供向心力，此時(shí)壓力最大，則Fmax-mg=m

v02

R

，最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，機(jī)械能守恒，有

1

2

mv02=mgR(1-cosθ)．聯(lián)立三個(gè)式子求出滑塊的質(zhì)量．
（3）滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，守恒量為機(jī)械能，規(guī)定B點(diǎn)為0勢(shì)能點(diǎn)，機(jī)械能等于A點(diǎn)的重力勢(shì)能．

解答：解：（1）滑塊在AA′之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期T=

π

5

s
由T=2π

R g

得容器的半徑：R=

T2g

4π2

=0.1m
（2）由牛頓第二定律，在平衡位置：Fmax-mg=m

v02

R

…①
在A點(diǎn)時(shí)有：F_min=mgcosθ…②
滑塊由A到B過(guò)程機(jī)械能守恒得：

1

2

mv02=mgR(1-cosθ)③
其中，F(xiàn)_max=0.510N；F_min=0.495N
由①②③式解得小滑塊的質(zhì)量：m=0.05㎏，cosθ=0.99
（3）滑塊機(jī)械能守恒，守恒量機(jī)械能E=mgR（1-cosθ）=5×10^-4J
答：小滑塊的質(zhì)量為0.05㎏，容器的半徑為0.1m，滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的守恒量為機(jī)械能．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道滑塊所做的運(yùn)動(dòng)是單擺運(yùn)動(dòng)，知道單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式，以及知道在什么位置壓力最大，什么位置壓力最小，運(yùn)用機(jī)械能守恒進(jìn)行求解．