Question

4．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)時其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑圓弧形軌道MNP，其半徑R=0.8m，OM為水平半徑，ON為豎直半徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R，∠PON=45°，質(zhì)量為m=0.1kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過B點(diǎn)后做勻減速直線運(yùn)動，其位移與時間的關(guān)系為x=6t-2t²（m），物塊從桌面右邊緣D點(diǎn)飛離桌面后，由P點(diǎn)沿圓軌道切線落入圓軌道．（g=10m/s²，不計空氣阻力）求：
（1）P點(diǎn)與桌面的水平距離．
（1）物塊m由B運(yùn)動到P所用時間．
（2）物塊m運(yùn)動到M點(diǎn)時，m對軌道的壓力F_N．

Answer 1

分析 （1）由平拋運(yùn)動規(guī)律求得豎直分速度，進(jìn)而得到運(yùn)動時間；然后根據(jù)速度方向求得水平速度，進(jìn)而求得水平距離；
（2）根據(jù)位移與時間的關(guān)系式求得初速度和加速度，進(jìn)而求得在BD上的運(yùn)動時間，即可求得B到P的時間；
（3）對物塊從P到M應(yīng)用機(jī)械能守恒求得在M點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力．

解答 解：（1）物塊從D到P做平拋運(yùn)動，運(yùn)動時間${t}_{1}=\sqrt{\frac{2R}{g}}=0.4s$，物塊在P點(diǎn)的豎直分速度v_y=gt₁=4m/s，故物塊在D點(diǎn)的速度v_D=v_ytan45°=4m/s；
那么，P點(diǎn)與桌面的水平距離s=v_Dt₁=1.6m；
（2）物塊過B點(diǎn)后做勻減速直線運(yùn)動，其位移與時間的關(guān)系為x=6t-2t²（m），故物塊在B點(diǎn)的速度v_B=6m/s，物塊做勻減速運(yùn)動的加速度a=4m/s²；
所以，物塊從B到D的運(yùn)動時間${t}_{2}=\frac{{v}_{B}-{v}_{D}}{a}=0.5s$；
所以，物塊m由B運(yùn)動到P所用時間t=t₁+t₂=0.9s；
（3）物塊在P點(diǎn)的速度${v}_{P}=\frac{{v}_{y}}{sin45°}=4\sqrt{2}m/s$，那么由機(jī)械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}=mgRcos45°+\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$，所以，${v}_{M}=\sqrt{{{v}_{P}}^{2}-2gRcos45°}=\sqrt{32-8\sqrt{2}}m/s$；
物塊m運(yùn)動到M點(diǎn)時，軌道對物塊的支持力做向心力，故有${F}_{N}′=\frac{m{{v}_{M}}^{2}}{R}=4-\sqrt{2}（N）$，方向水平向左；
故由牛頓第三定律可得：m對軌道的壓力${F}_{N}={F}_{N}′=4-\sqrt{2}（N）$，方向水平向右；
答：（1）P點(diǎn)與桌面的水平距離為1.6m；
（2）物塊m由B運(yùn)動到P所用時間為0.9s；
（3）物塊m運(yùn)動到M點(diǎn)時，m對軌道的壓力F_N為$4-\sqrt{2}（N）$，方向水平向右．

點(diǎn)評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．