Question

19．游樂(lè)場(chǎng)的過(guò)山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來(lái)（如圖甲）．我們把這種情形抽象為圖乙的模型：弧形軌道的下端與半徑為R的豎直圓軌道相接，質(zhì)量為m的小球從圓弧軌道上端高h(yuǎn)處?kù)o止?jié)L下，進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)．忽略摩擦和空氣阻力．求：
（1）小球在最高點(diǎn)A時(shí)的速度至少是多少？
（2）小球從h=3R處?kù)o止?jié)L下，它通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道的壓力為多大？
（3）小球從多高的地方釋放才可以讓小球不脫離軌道？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小車在最高點(diǎn)A應(yīng)用牛頓第二定律求解；
（2）對(duì)小球從靜止到最高點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求得在A的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）根據(jù)小球不脫離軌道得到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，然后由動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）對(duì)小車在最高點(diǎn)A應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{mv_A^2}{R}$，所以，${v_A}≥\sqrt{gR}$，即小球在最高點(diǎn)A時(shí)的速度至少是$\sqrt{gR}$；
（2）對(duì)小球從靜止到最高點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}mv_A^2$；
對(duì)小球在最高點(diǎn)A應(yīng)用牛頓第二定律可得：$N+mg=\frac{mv_A^2}{R}=mg$，所以，N=mg；
那么，由牛頓第三定律可得：小球通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道的壓力為mg；
（3）不脫離軌道有以下兩種情況：
情況一：小球能夠通過(guò)最高點(diǎn)A，那么如（1）對(duì)小球在最高點(diǎn)A應(yīng)用牛頓第二定律可得：${v_A}≥\sqrt{gR}$，
對(duì)小球從起點(diǎn)到最高點(diǎn)A運(yùn)用動(dòng)能定理：$mg（{h_1}-2R）=\frac{1}{2}m{{v}_{A}^2}-0$$≥\frac{1}{2}mgR$，所以，h₁≥2.5R；
情況二：小球在圓心等高以下位置來(lái)回?cái)[動(dòng)，那么由動(dòng)能定理可得：mgh-mgH=0 得h=H≤R；
綜上可知：h≥2.5R或h≤R時(shí)，小車不會(huì)脫離軌道；
答：（1）小球在最高點(diǎn)A時(shí)的速度至少是$\sqrt{gR}$；
（2）小球從h=3R處?kù)o止?jié)L下，它通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道的壓力為mg；
（3）小球從h≥2.5R或h≤R高的地方釋放才可以讓小球不脫離軌道．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．