Question

雨滴在空中下落時，由于空氣阻力的影響，最終會以恒定的速度勻速下降，我們把這個速度叫做收尾速度．研究表明，在無風(fēng)的天氣條件下，空氣對下落雨滴的阻力可由公式f=CρSv²來計算，其中C為空氣對雨滴的阻力系數(shù)（可視為常量），ρ為空氣的密度，S為雨滴的有效橫截面積（即垂直于速度v方向的橫截面積）．

假設(shè)雨滴下落時可視為球形，且在到達地面前均已達到收尾速度．每個雨滴的質(zhì)量均為m，半徑均為R，雨滴下落空間范圍內(nèi)的空氣密度為ρ₀，空氣對雨滴的阻力系數(shù)為C₀，重力加速度為g．

（1）求雨滴在無風(fēng)的天氣條件下沿豎直方向下落時收尾速度的大�。�

（2）若根據(jù)云層高度估測出雨滴在無風(fēng)的天氣條件下由靜止開始豎直下落的高度為h，求每個雨滴在豎直下落過程中克服空氣阻力所做的功；

（3）大量而密集的雨滴接連不斷地打在地面上，就會對地面產(chǎn)生持續(xù)的壓力．設(shè)在無風(fēng)的天氣條件下雨滴以收尾速度勻速豎直下落的空間，單位體積內(nèi)的雨滴個數(shù)為n（數(shù)量足夠多），雨滴落在地面上不反彈，雨滴撞擊地面時其所受重力可忽略不計，求水平地面單位面積上受到的由于雨滴對其撞擊所產(chǎn)生的壓力大�。�

Answer 1

解：（1）設(shè)雨滴豎直下落的收尾速度大小為v，

雨滴達到收尾速度時開始勻速下落  mg=f

又因為

解得 

（2）設(shè)雨滴在空中由靜止沿豎直方向下落至地面的過程克服空氣阻力所做功為W_f，

依據(jù)動能定理有

解得，

（3）取橫截面積為S、高度H=vt的柱狀體積內(nèi)的雨滴為研究對象，它所含雨滴的總質(zhì)量為M=nSHm

設(shè)柱狀體積內(nèi)的雨滴受到水平地面單位面積上的作用力大小為F，豎直向上為正方向

根據(jù)動量定理有  FSt=Mv

解得 

根據(jù)牛頓第三定律，水平地面的單位面積上受到的由于雨滴對其撞擊所產(chǎn)生的壓力大小為．

答：（1）雨滴在無風(fēng)的天氣條件下沿豎直方向下落時收尾速度的大小為．

（2）每個雨滴在豎直下落過程中克服空氣阻力所做的功為．

（3）水平地面單位面積上受到的由于雨滴對其撞擊所產(chǎn)生的壓力大小為．