Question

2．如圖所示，兩根完全相同的金屬導軌如圖放置，兩導軌間距為L，電阻不計，兩條導軌足夠長，所形成的斜面與水平面的夾角都是α=53°．兩金屬桿ab和cd長均為L，金屬桿ab電阻為2R，金屬桿cd電阻為R，質(zhì)量分別為2m和m，兩金屬桿與導軌的摩擦系數(shù)μ=0.5，用一根質(zhì)量可忽略的不可伸長的柔軟絕緣細線通過滑輪將它們連接，兩金屬桿都處在水平位置．其中水平導軌平面上有垂直向上的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．若從靜止釋放金屬桿ab和cd，ab棒移動的距離S后達到最大速度，在此運動過程中金屬桿ab和cd始終未離開導軌，且不越過虛線位置．g=10m/s²．求

（1）金屬桿ab運動的最大加速度．
（2）金屬桿ab運動的最大速度．
（3）從靜止達到最大速度過程中ab電阻產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）對ab棒受力分析，由牛頓第二定律求得合力大小的表達式，根據(jù)表達式判定什么情況下加速度最大，最大值為多少；
（2）金屬棒ab運動到速度最大時處于平衡狀態(tài)，根據(jù)ab和cd的平均求得ab的最大速度；
（3）根據(jù)能量守恒求得回路中產(chǎn)生的總熱量，再根據(jù)歐姆定律求得ab電阻產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）ab棒與cd棒用細線相連，則可知它們的加速度大小相等，對cd棒分析有：
T-μmg-F=ma      ①
對ab棒受力分析有：
2mgsin53°-μ2mgcos53°-T=2ma      ②
由①+②兩式可得：
2mgsn53°-μ2mgcos53°-μmg-F=3ma
由此表達式可知，ab運動的加速度a=$\frac{2mgsin53°-2μmgcos53°-μmg-F}{3m}$
可知當安培力F=0時，ab棒有最大加速度a=$\frac{2gsin53°-2μgcos53°-μg}{3}$=$\frac{2×10×0.8-2×0.5×10×0.6-0.5×10}{3}m/{s}^{2}$=$\frac{5}{3}m/{s}^{2}$
（2）由（1）分析知，當ab棒勻速運動時速度最大，此時滿足a=0
即：cd棒所受安培力F=2mgsin53°-2μmgcos53°-μmg
令此時最大速度為v，則cd棒切割磁感線產(chǎn)生的電動勢E=BLv
據(jù)歐姆定律有此時導體棒的中電流I=$\frac{E}{2R+R}$
所受安培力F=$BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}=2mgsin53°-2μmgcos53°-μmg$
可得導體棒的最大速度v=$\frac{3R}{{B}^{2}{L}^{2}}•\frac{1}{2}mg$
（3）根據(jù)能量守恒定律可知，整個過程中有：
2mgssin53°=$\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}-μmgs-μ2mgscos53°$+Q
可得兩電阻中產(chǎn)生的熱量Q=2mgssin53°-μmgs-μ2mgscos53°$-\frac{1}{2}•3m•{v}^{2}$=$\frac{1}{2}mgs$$-\frac{27{R}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$
據(jù)Q=I²Rt可得，ab電阻上產(chǎn)生的熱量${Q}_{a}=\frac{2R}{2R+R}Q$=$\frac{2}{3}（\frac{1}{2}mgs-\frac{27{R}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}）$=$\frac{1}{3}mgs-\frac{9{R}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）金屬桿ab運動的最大加速度為$\frac{5}{3}m/{s}^{2}$．
（2）金屬桿ab運動的最大速度為$\frac{3R}{{B}^{2}{L}^{2}}•\frac{1}{2}mg$．
（3）從靜止達到最大速度過程中ab電阻產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{3}mgs-\frac{9{R}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、閉合電路歐姆定律、共點力平衡等知識，綜合性較強，難度較大．