Question

2．如圖所示，光滑的半球殼半徑為R，固定在地面上，O點(diǎn)在球心的正下方，一小球由距O點(diǎn)很近的A點(diǎn)由靜止放開，同時(shí)在O點(diǎn)正上方有一小球自由落下，若運(yùn)動(dòng)中阻力不計(jì)，為使兩球在O點(diǎn)相碰，小球應(yīng)由h=$\frac{{（2n+1）}^{2}}{8}{π}^{2}R（n=0，1，2，…）$高處自由落下．

Answer 1

分析 從O點(diǎn)上方下落的小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)釋放的小球近似看做單擺，根據(jù)各自的規(guī)律即可求得時(shí)間的表達(dá)式，若使兩球在圓弧最低點(diǎn)O處相遇，要考慮到在軌道上運(yùn)動(dòng)的周期性，然后列出等式即可．當(dāng)n=0時(shí)，球自由下落的高度最�。�

解答 解：設(shè)從O點(diǎn)上方下落的小球從離弧形槽最低點(diǎn)h高處開始自由下落，到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間為：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
從A點(diǎn)釋放的小球近似看做單擺，其周期為：：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
由于從A點(diǎn)釋放的小球運(yùn)動(dòng)的周期性，所以該小球到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間為：
${t}_{2}=\frac{T}{4}+n\frac{T}{2}=\frac{2n+1}{2}•π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…
由于兩個(gè)小球在O點(diǎn)相遇，故有：t₂=t₁
解得：h=$\frac{{{{（2n+1）}^2}}}{8}{π^2}R（n=0，1，2，…）$
故答案為：$\frac{{（2n+1）}^{2}}{8}{π}^{2}R（n=0，1，2，…）$．

點(diǎn)評(píng) 該題的要考慮到從A點(diǎn)釋放的小球運(yùn)動(dòng)的周期性，寫出它到達(dá)最低點(diǎn)的時(shí)刻的通式是解題的關(guān)鍵．