Question

1．如圖所示，質(zhì)量M=4kg、高度為h=1.25m的小車放在水平光滑的平面上，以3m/s速度勻速運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻在小車前端輕輕地放上一個(gè)大小不計(jì)，質(zhì)量為m=2kg的小物塊，物塊與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1．求：（取g=10m/s²）
（1）為使小物塊滑離小車，小車最大長(zhǎng)度；
（2）若小車長(zhǎng)度l=1.5m，小物塊滑離小車落地瞬時(shí)，小車與物塊的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）小物塊與小車組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，總動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出兩者相對(duì)靜止時(shí)的共同速度，由能量守恒定律求出兩者的相對(duì)位移大小，即為小車最大長(zhǎng)度．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒，求出小物塊滑離小車時(shí)的速度．小物塊滑離小車后做平拋運(yùn)動(dòng)，由高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再由位移公式和幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）小物塊與小車組成的系統(tǒng)所受的合外力為零，總動(dòng)量守恒，取水平向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
 Mv₀=（M+m）v
解得：v=$\frac{M{v}_{0}}{M+m}$=$\frac{4×3}{4+2}$=2m/s
根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒得
  μmgL=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
解得 L=3m
所以為使小物塊滑離小車，小車最大長(zhǎng)度為3m．
（2）設(shè)小物塊滑離小車落地瞬時(shí)，物塊與小車的速度分別為v₁和v₂．
根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得：
  Mv₀=mv₁+Mv₂；
  μmgl=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
代入解得 v₁=$\frac{4+\sqrt{22}}{2}$m/s，v₂=$\frac{8-\sqrt{22}}{4}$m/s（另一組解不合理，舍去）
小物塊滑離小車后做平拋運(yùn)動(dòng)，則 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得
  t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×1.25}{10}}$=0.5s
故小物塊滑離小車落地瞬時(shí)，小車與物塊的水平距離為 
△x=（v₁-v₂）t=$\frac{3}{8}\sqrt{22}$m
答：
（1）為使小物塊滑離小車，小車最大長(zhǎng)度為3m．
（2）小物塊滑離小車落地瞬時(shí)，小車與物塊的水平距離為$\frac{3}{8}\sqrt{22}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題是物塊在小車上滑動(dòng)的類型，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒研究，也可以根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式結(jié)合求解．