Question

4．如圖，在某裝置中有一勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于xOy所在紙面向外．某時刻在x=l₀、y=0處，一質子（質子的質量為m，電荷量為e）沿y軸負方向進入磁場；同一時刻，在x=-l₀、y=0處，一個α粒子（α粒子的質量為4m，電荷量為2e）進入磁場，速度方向與磁場垂直．不考慮質子與α粒子的相互作用，設．則：
（1）如果質子經(jīng)過坐標原點O，它的速度為多大？
（2）如果α粒子與質子經(jīng)最短時間在坐標原點相遇，α粒子的速度應為何值？方向如何？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)質子運動的軌道半徑，結合半徑公式求出質子的速度．
（2）如果α粒子與質子經(jīng)最短時間在坐標原點相遇，結合兩者周期的關系，確定出α粒子的速度方向，結合粒子在磁場中運動的半徑求出速度的大�。�

解答 解：（1）質子的運動軌跡如圖所示：

其圓心在：x=$\frac{{l}_{0}}{2}$處，其半徑r₁=$\frac{{l}_{0}}{2}$．
質子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，解得：v=$\frac{eB{l}_{0}}{2m}$；
（2）質子從x=l₀處到達坐標原點O處的時間為：t_H=$\frac{{T}_{H}}{2}$，
又T_H=$\frac{2πm}{eB}$，可得：t_H=$\frac{πm}{eB}$．
α粒子的周期為：T_α=$\frac{4πm}{eB}$，可得：t_α=$\frac{{T}_{α}}{4}$，
兩粒子的運動軌跡如圖所示：

由幾何關系得：r_α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l₀，
由牛頓第二定律的：2ev_αB=4m$\frac{{v}_{α}^{2}}{{r}_{α}}$，
解得：v_α=$\frac{\sqrt{2}eB{l}_{0}}{4m}$，方向與x軸正方向的夾角為$\frac{π}{4}$．
答：（1）如果質子經(jīng)過坐標原點O，它的速度為$\frac{eB{l}_{0}}{2m}$；
（2）如果α粒子與質子經(jīng)最短時間在坐標原點相遇，α粒子的速度應為$\frac{\sqrt{2}eB{l}_{0}}{4m}$，方向：與x軸正方向的夾角為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中運動，對數(shù)學幾何能力的要求較高，會確定圓心、半徑和圓心角是解決本題的關鍵．