Question

7．如圖所示，厚度均勻、上表面為長(zhǎng)方形的平板AA'B'B靜止在光滑水平面上，平板上OO'所在直線與AB平行，CC'所在直線與OO'垂直．平板上表面的AA'至CC'段是粗糙的，CC'至BB'段是光滑的．將一輕質(zhì)彈簧沿OO'方向放置在平板上，其右端固定在平板BB'端的輕質(zhì)擋板上，彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)其左端位于CC'線上．在t=0時(shí)刻，有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊以初速度v₀從平板的AA'端沿OO'方向滑上平板，小物塊在平板上滑行0.2s后，從t₁時(shí)刻開(kāi)始?jí)嚎s彈簧，又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，在t₂時(shí)刻彈簧壓縮最短，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能是8.1J．已知平板質(zhì)量M=4.0kg，AA'與BB'之間的距離L₁=1.30m，小物塊的質(zhì)量m=1.0kg，速度v₀=5m/s，小物塊與平板粗糙面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.20，取重力加速度g=10m/s²，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，小物塊始終在OO'所在直線上．求：
（1）求彈簧的原長(zhǎng)L；
（2）彈簧壓縮最短時(shí)，小物塊的速度的大小v；
（3）請(qǐng)?jiān)趫D2中定性畫(huà)出0～t₂時(shí)間內(nèi)木板的速度v隨時(shí)間t變化的圖象．（圖中t₁為小物塊開(kāi)始?jí)嚎s彈簧的時(shí)刻；t₂為彈簧壓縮最短的時(shí)刻）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)．小物塊滑上平板后，在滑動(dòng)摩擦力作用下，小物塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，平板做勻加速運(yùn)動(dòng)，物塊剛壓縮彈簧時(shí)，兩者位移之差等于L₁-L，根據(jù)牛頓第二定律、位移時(shí)間公式和位移關(guān)系列式求解．
（2）當(dāng)兩者的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能達(dá)到最大，小物塊壓縮彈簧時(shí)，系統(tǒng)的合外力為零，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出物塊剛接觸彈簧時(shí)的速度．
（3）物塊先做勻減速運(yùn)動(dòng)，再做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，分段畫(huà)出v-t圖象．

解答 解：（1）在0-t₁時(shí)間內(nèi)，小物塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，平板做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得：
小物塊的加速度 a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²；（方向向左）
平板的加速度 a₂=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.2×1×10}{4}$=0.5m/s²；（方向向右）
小物塊的位移 x₁=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²．
平板的位移 x₂=$\frac{1}{2}$a₂t²．
設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)，則 x₁-x₂=L₁-L；
聯(lián)立解得 L=0.35m
（2）小物塊剛接觸彈簧時(shí)：
小物塊的速度 v_塊=v₀-a₁t
平板的速度 v_板=a₂t
解得 v_塊=4.6m/s，v_板=0.1m/s
當(dāng)兩者的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能達(dá)到最大．取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
   mv_塊+Mv_板=（M+m）v
解得 v=1m/s
（3）在0-t₂時(shí)間內(nèi)，小物塊的速度v隨時(shí)間t變化的圖象2所示．
答：
（1）彈簧的原長(zhǎng)L是0.35m；
（2）彈簧壓縮最短時(shí)，小物塊的速度的大小v是1m/s；
（3）在0-t₂時(shí)間內(nèi)，小物塊的速度v隨時(shí)間t變化的圖象2所示．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要理清物理過(guò)程，抓住物塊與平板位移關(guān)系，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合分析求解，也可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和能量守恒定律結(jié)合求v．