Question

13．如果把水星和金星繞太陽的運動視為勻速圓周運動，從水星與金星在一條直線上開始計時，若天文學家測得在相同時間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過的角度為θ₁；金星轉(zhuǎn)過的角度為θ₂（θ₁、θ₂均為銳角），則由此條件可求得（　　）

• A． 水星和金星繞太陽運動的周期之比
• B． 水星和金星的密度之比
• C． 水星和金星到太陽的距離之比
• D． 水星和金星繞太陽運動的向心加速度大小之比

Answer 1

分析 相同時間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過的角度為θ₁；金星轉(zhuǎn)過的角度為θ₂，可知道它們的角速度之比，繞同一中心天體做圓周運動，萬有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$．，可求出軌道半徑比，以及向心加速度比．

解答 解：A、相同時間內(nèi)水星轉(zhuǎn)過的角度為θ₁；金星轉(zhuǎn)過的角度為θ₂，可知它們的角速度之比為θ₁：θ₂．周期$T=\frac{2π}{ω}$，則周期比為θ₂：θ₁．故A正確．
   B、水星和金星是環(huán)繞天體，無法求出質(zhì)量，也無法知道它們的半徑，所以求不出密度比．故B錯誤．
   C、萬有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$，解得：$r=\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$．知道了角速度比，就可求出軌道半徑之比．故C正確．
   D、根據(jù)a=rω²，軌道半徑之比、角速度之比都知道，很容易求出向心加速度之比．故D正確．
故選：ACD

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$．以及知道要求某一天體的質(zhì)量，要把該天體放在中心天體位置，放在環(huán)繞天體位置，被約去，求不出來