Question

如圖所示，一個質(zhì)量為m的鋼性圓環(huán)套在一根固定的足夠長的水平直桿上，環(huán)的半徑略大于桿的半徑．環(huán)與桿之間的動摩擦因數(shù)為μ，t=0時刻給環(huán)一個向右的初速度v₀，同時對環(huán)施加一個方向始終豎直向上的力F，已知力F的大小F=kv（k為常數(shù)，v為環(huán)的運動速度），且有kv₀＞mg．t=t₁時刻環(huán)開始沿桿做勻速直線運動，試求：
（1）t=0時刻環(huán)的加速度；
（2）全過程中環(huán)克服摩擦力做的功；
（3）0～t₁時間內(nèi)環(huán)沿桿運動的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)受力分析確定環(huán)的運動情況，環(huán)所受合力向上時，隨著環(huán)速度的減小，豎直向上的拉力逐漸減��；所以剛剛開始運動時環(huán)的加速度最大；
（2）當環(huán)向上的拉力減至和重力大小相等時，此時環(huán)受合力為0，桿不再給環(huán)阻力，環(huán)將保持此時速度不變，做勻速直線運動，環(huán)在豎直方向所受合力為0時對環(huán)使用動能定理求出阻力對環(huán)做的功即可．
（3）由于環(huán)的受力隨速度的變化而變化，所以不能使用牛頓運動定律來解題，需要使用動量定理來求得環(huán)的平均力和平均速度，最后求得環(huán)的位移．

解答：解：（1）t=0時刻，由牛頓第二定律得  N+mg=F=kυ₀  
f=μN=ma 
由以上兩式解得：a=

μkv0

m

-μg；
（2）當F=kυ₁=mg時，環(huán)做勻速直線運動，此時速度為：v1=

mg

k

 
全過程克服摩擦力做的功為：W=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

=

m

2

(

v

2 0

-

m2g2

k2

)；
（3）由動量定理得：-

.

f

t1=mv1-mv0   
由于環(huán)運動過程中每一時刻有：f=μF_N=μ（kv-mg）
所以有：

.

f

=μ(k

.

v

-mg) 
由以上式子得：μk

.

v

t1-μmgt1=mv0-mv 
環(huán)在t₁時間內(nèi)的位移為：x=

.

v

t=

m(v0- mg k )+μmgt1

μk

；
答：（1）t=0時刻環(huán)的加速度a=

μkv0

m

-μg；
（2）全過程中環(huán)克服摩擦力做的功W=

m

2

(

v

2 0

-

m2g2

k2

)；
（3）0～t₁時間內(nèi)環(huán)沿桿運動的距離x=

m(v0- mg k )+μmgt1

μk

．

點評：注意當環(huán)在豎直方向所受合力為0時，此時桿對環(huán)不再有阻力作用，環(huán)在水平方向受平衡力，將保持此時的速度做勻速直線運動，由此可分三種情況對環(huán)進行受力分析從而確定環(huán)的受力情況和運動情況，根據(jù)動能定理求解克服阻力所做的功即可．該題在由于環(huán)的受力是變力，所以要使用動量定理來解題，不能使用牛頓運動定律．