Question

（2008?黃岡一模）如圖甲，相距為L的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌一部分處在垂直導(dǎo)軌平面的勻強磁場中，oo′為磁場邊界，磁感應(yīng)強度為B，導(dǎo)軌右側(cè)接有定值電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計．在距oo′為L處垂直導(dǎo)軌放置一質(zhì)量為m、電阻不計的金屬桿ab．

（1）若ab桿在恒力作用下由靜止開始向右運動，其速度-位移的關(guān)系圖象如圖乙所示，則在此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱Q₁是多少？ab桿在離開磁場前瞬間的加速度為多少？
（2）若a b桿固定在導(dǎo)軌上的初始位置，磁場按B_t=Bcosωt規(guī)律由B減小到零，在此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱為Q₂，求ω的大�。�

Answer 1

分析：（1）運用動能定理分別研究ab桿在位移L到3L的過程及位移為L的兩個過程，列式求解電熱Q₁．推導(dǎo)出安培力F安=

B2L2v1

R

，根據(jù)牛頓第二定律求加速度．
（2）當(dāng)磁場按B_t=Bcos t規(guī)律變化時，閉合回路的磁通量Φ的變化規(guī)律為Φ=Bcosωt=BL²cosωt，電動勢最大值為E_m=BωL²，當(dāng)磁感應(yīng)強度由B減小到零，根據(jù)焦耳定律求ω的大�。�

解答：解：（1）ab桿在位移L到3L的過程中，由動能定理
     F（3L-L）=

1

2

m(v

2 2

-

v

2 1

)
ab桿在磁場中發(fā)生L過程中，恒力F做的功等于ab桿增加的動能和回路產(chǎn)生的電能
    FL=

1

2

m

v

2 1

+Q1
解得　　Q1=

m( v 2 2 -3 v 3 1 )

4

ab桿在離開磁場前瞬間，水平方向上受安培力F_安和外力F作用，加速度a，則F安=

B2L2v1

R

根據(jù)牛頓第二定律得 a=

F-F安

m

解得　a=

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v

mR

（2）當(dāng)磁場按B_t=Bcos t規(guī)律變化時，閉合回路的磁通量Φ的變化規(guī)律為
  Φ=Bcosωt=BL²cosωt
該過程中穿過線圈的磁通量，與線圈在磁場中以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動規(guī)律相同，因此回路中產(chǎn)生交流電．
電動勢最大值為E_m=BωL²　　　　　　　　　　　
磁場減小到零，相當(dāng)于線圈轉(zhuǎn)過90°，經(jīng)歷四分之一周期，過程
中產(chǎn)生的電熱
  Q₂=(

Em

2

)2

1

R

×

T

4

又 T=

2π

ω

解得　　　ω=

4Q2R

πB2L4

答：
（1）在此過程中電阻R上產(chǎn)生的電熱Q₁是

m( v 2 2 -3 v 3 1 )

4

．a(chǎn)b桿在離開磁場前瞬間的加速度為

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v

mR

．
（2）ω的大小為

4Q2R

πB2L4

．

點評：本題關(guān)鍵是運用動能定理、牛頓第二定律、焦耳定律等力學(xué)和電路規(guī)律研究電磁感應(yīng)現(xiàn)象．對于正弦交變電流，要有有效值求電熱．