Question

8．放置在坐標(biāo)原點(diǎn)O的粒子源，可以向第二象限內(nèi)放射出質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，帶電粒子的速率均為v，方向均在紙面內(nèi)，如圖所示，若在某區(qū)域內(nèi)存在垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（垂直紙面向外），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，則這些粒子都能在穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)后垂直于x軸放置的擋板PQ上，求：
（1）擋板PQ的最小長(zhǎng)度；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）作出平行于x軸入射的粒子軌跡和垂直于x軸入射的電子的軌跡，兩個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)半徑相同，通過(guò)幾何關(guān)系可知粒子打到熒光屏MN上的長(zhǎng)度等于軌跡的半徑．
（2）結(jié)合平行于x軸射入的粒子垂直于x軸方向射入的粒子的軌跡，集合幾何關(guān)系可得知磁場(chǎng)最小面積時(shí)的圖形，從而可得出最小面積．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
初速度沿x軸負(fù)方向的粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)四分之一圓周，
平行與x軸打在屏上的點(diǎn)是粒子的最高點(diǎn)，
則PQ的最小長(zhǎng)度：L=r=$\frac{mv}{qB}$；
（2）取與x軸負(fù)方向成θ角的方向射入的粒子為研究對(duì)象，
其射出磁場(chǎng)的點(diǎn)為E（x，y），因其射出后能垂直打到屏PQ上，
故有：x=-rsinθ，y=r+rcosθ，解得：x²+（y-r）²=r²，
因?yàn)榱Ｗ友豿軸負(fù)方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為A點(diǎn)，
沿y軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為C點(diǎn)，
故所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以（0，r）為圓心、r為半徑的圓的一部分，
如圖中實(shí)線圓弧所圍區(qū)域，所以磁場(chǎng)范圍的最小面積為：
S=$\frac{3}{4}$πr²+r²-$\frac{1}{4}$πr²=（$\frac{π}{2}$+1）（$\frac{mv}{qB}$）²．
答：（1）擋板PQ的最小長(zhǎng)度為$\frac{mv}{qB}$；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為（$\frac{π}{2}$+1）（$\frac{mv}{qB}$）²．

點(diǎn)評(píng) 該題在審題時(shí)要關(guān)注以下兩點(diǎn)：
（1）從第二象限射入的電子，速度的大小相同，速度的方向（與x軸的正方向）分布在0°到90°的范圍內(nèi)．
（2）電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直地射到MN光屏上，要利用好“垂直”這個(gè)條件．
巧解帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題：
（1）分析思路三步走：①確定圓心，畫(huà)出軌跡； ②找?guī)缀侮P(guān)系，定物理量； ③畫(huà)動(dòng)態(tài)圖，定臨界狀態(tài)．
（2）分析方法四優(yōu)法：①幾何對(duì)稱(chēng)法：粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于入射點(diǎn)和出射點(diǎn)的中垂線對(duì)稱(chēng)．②動(dòng)態(tài)放縮法：速度越大半徑越大，但速度方向不變的粒子圓心在垂直速度方向的直線上．③旋轉(zhuǎn)平移法：定點(diǎn)粒子源發(fā)射速度大小相等、方向不同的所有粒子的軌跡圓圓心在以入射點(diǎn)為圓心，半徑r=$\frac{mv}{qB}$的圓上，相當(dāng)于將一個(gè)定圓以入射點(diǎn)為圓心旋轉(zhuǎn)．④數(shù)學(xué)解析法：寫(xiě)出軌跡圓和圓形邊界的解析方程，應(yīng)用物理和數(shù)學(xué)知識(shí)求解．