Question

6．小船在靜水中速度為5m/s，河水速度為3m/s，河寬600m，求：
（1）若要小船以最短時(shí)間過(guò)河，開船方向怎樣？最短時(shí)間為多少？小船在河水中實(shí)際行駛的距離是多大？
（2）若要小船以最短距離過(guò)河，開船方向怎樣（即船頭與河岸上游或下游夾角）？過(guò)河時(shí)間為多少？（結(jié)果可用三角函數(shù)表示，如有根式，可化簡(jiǎn)后保留）

Answer 1

分析 （1）船航行時(shí)速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當(dāng)以靜水中的速度垂直河岸過(guò)河的時(shí)候渡河時(shí)間最短．由矢量合成的平行四邊形定則得知小船的合速度，小船實(shí)際以合速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而求得位移的大��；
（2）小船以最短距離過(guò)河時(shí)，則靜水中的速度斜著向上游，合速度垂直河岸．

解答 解：（1）船頭垂直于岸渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間：
t_min=$\fraciy8kcuy{{v}_{船}}$=$\frac{600}{5}$=120s
合速度：v=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{34}$m/s
實(shí)際距離：S=vt=$\sqrt{34}$×120=120$\sqrt{34}$m
（2）設(shè)船頭與河岸上游的夾角為θ，當(dāng)合速度與河岸方向垂直時(shí)，渡河航程最短．
有：cosθ=$\frac{{v}_{水}}{{v}_{船}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：θ=53°
合速度的大小為：v=v_船sinθ=5×0.8m/s=4m/s，
則渡河的時(shí)間為：t=$\fracmak0os2{v}$=$\frac{600}{4}$s=150s
答：（1）若要小船以最短時(shí)間過(guò)河，船頭垂直于岸渡河，最短時(shí)間為120s，小船在河水中實(shí)際行駛的距離是120$\sqrt{34}$m；
（2）若要小船以最短距離過(guò)河，開船的方向與河岸上游的夾角為53°，過(guò)河的時(shí)間為150s．

點(diǎn)評(píng) 小船過(guò)河問(wèn)題屬于運(yùn)動(dòng)的合成問(wèn)題，要明確分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性、獨(dú)立性，運(yùn)用分解的思想，看過(guò)河時(shí)間只分析垂直河岸的速度，分析過(guò)河位移時(shí)，要分析合速度．