Question

20．如圖所示，一個(gè)豎直放置的半徑為R的光滑絕緣環(huán)，置于水平方向的勻強(qiáng)電場中．有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的空心小球套在環(huán)上，已知電場強(qiáng)度為E=$\frac{4mg}{3q}$．求：
（1）當(dāng)小球由靜止開始從環(huán)的頂端A下滑$\frac{1}{4}$圓弧長到達(dá)位置B時(shí)，環(huán)對(duì)小球的壓力？
（2）小球從環(huán)的頂端A滑至底端C的過程中，最大速度為多少？

Answer 1

分析 小球做圓周運(yùn)動(dòng)，先由動(dòng)能定理求出小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，然后由牛頓第二定律列方程，求出小球受到的彈力，再由牛頓第三定律求出小球?qū)Νh(huán)的壓力．
在小球下滑到最低點(diǎn)C的過程中，當(dāng)合力與速度垂直時(shí)，速度最大，由電場力與重力的關(guān)系，確定位置，再根據(jù)動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）小球由靜止開始從環(huán)的頂端A下滑到位置B過程中mgR+EqR=$\frac{1}{2}$mv_B²
小球在位置B時(shí)，設(shè)支持力方向向左，得：N-Eq=$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入E=$\frac{4mg}{3q}$得  
解得：N=6mg 故方向水平向左
有牛頓第三定律可得：環(huán)對(duì)小球的壓力大小為6mg，方向水平向右；
（2）由于小球所受的電場力與重力都是恒力，它們的合力也是恒力，此力方向與水平成37⁰，大小為F=$\sqrt{（Eq）^{2}+（mg）^{2}}=\frac{5mg}{3}$，小球從A處下滑時(shí)，電場力與重力的合力先與速度成銳角，作正功，動(dòng)能增大，速度增大，后與速度成鈍角，作負(fù)功，動(dòng)能減小，速度減小，所以當(dāng)合力與速度垂直時(shí)速度最大，由于qE=mg，所以速度最大的位置位于BC圓弧的中點(diǎn)，設(shè)為D點(diǎn)，則從A到D過程，
根據(jù)動(dòng)能定理得：
  F（R+Rsin37°）=$\frac{1}{2}$mv_m²
解得：v_m=$\frac{4\sqrt{3gR}}{3}$；
答：（1）環(huán)對(duì)小球的壓力為6mg，方向水平向右；
（2）小球從環(huán)的頂端A滑至底端C的過程中，最大速度為$\frac{4\sqrt{3gR}}{3}$；

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理和牛頓第二定律研究是常見的題型，關(guān)鍵要分析出速度最大的位置，可與單擺類比，D點(diǎn)相當(dāng)于單擺的最低點(diǎn)，常常稱為物理量最低點(diǎn)，其特點(diǎn)是合力指向圓心．