Question

2．如圖所示，靜止在光滑水平面上的長(zhǎng)木板B，質(zhì)量為M=2kg，長(zhǎng)l₁=4.5m．與B等高的固定平臺(tái)CD長(zhǎng)l₂=3m，平臺(tái)右側(cè)有一豎直放置且半徑R=1m的光滑半圓軌道DEF．質(zhì)量m=1kg的小滑塊A以初速度v₀=6m/s從B的左端水平滑上B，隨后A、B向右運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)木板B與平臺(tái)CD碰撞前的瞬間，小滑塊A的速度大小為v_A=4m/s，此時(shí)A、B還未達(dá)到共同速度．設(shè)長(zhǎng)木板B與平臺(tái)碰撞后立即被鎖定，小滑塊A可視為質(zhì)點(diǎn)，小滑塊A與平臺(tái)B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.2，小滑塊A與平臺(tái)CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1，s=0.5m，g=10m/s²．求：
（1）長(zhǎng)木板B與平臺(tái)碰撞前的瞬間，B的速度大小是多少？
（2）小滑塊A在半圓軌道上能達(dá)到的最大高度．
（3）小滑塊A最終停在離木板B左端多遠(yuǎn)處？

Answer 1

分析 （1）對(duì)滑塊和木板整體由動(dòng)量守恒定律即可求解；
（2）對(duì)滑塊從平臺(tái)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D的過程中，在到最高點(diǎn)的過程中運(yùn)用動(dòng)能定理列式即可求解；
（3）下滑的過程中使用動(dòng)能定理即可求解．

解答 解：（1）滑塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)的過程中，水平方向沒有外力，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，取向右為正方向，則：
mv₀=mv_A+Mv₂
所以：${v}_{2}=\frac{m{v}_{0}-m{v}_{A}}{M}=\frac{1×6-1×4}{2}m/s=1$m/s
（2）滑塊滑過平臺(tái)CD到最高點(diǎn)的過程中摩擦力與重力做功，由動(dòng)能定理得：
$-{μ}_{2}mg{l}_{2}-mgh=0-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：h=0.5m＜1m
滑塊沒有到達(dá)與圓心等高的點(diǎn)，說明滑塊一直在軌道上．
（3）由于圓軌道是光滑的，所以滑塊回到D時(shí)的速度v_D：$-{μ}_{2}mg{l}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
得：${v}_{D}=\sqrt{10}$m/s
滑塊返回C點(diǎn)時(shí)的速度v_C：$-{μ}_{2}mg{l}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
得：v_C=2m/s
由于長(zhǎng)木板B與平臺(tái)碰撞后立即被鎖定，所以滑塊重新滑上B后木板靜止不動(dòng)，設(shè)滑塊在B上滑動(dòng)的距離是x，則：
$-{μ}_{1}mgx=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：x=1m
小滑塊A最終停在離木板B左端：L=l₁-x=4.5m-1m=3.5m
答：（1）長(zhǎng)木板B與平臺(tái)碰撞前的瞬間，B的速度大小是1m/s；
（2）小滑塊A在半圓軌道上能達(dá)到的最大高度是0.5m．
（3）小滑塊A最終停在離木板B左端3.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)各個(gè)過程根據(jù)動(dòng)能定理列式，同時(shí)結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心力公式列式后聯(lián)立求解．