Question

15．如圖所示，讓擺球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點(diǎn)D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點(diǎn)向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A孔進(jìn)入半徑R=0.3m的豎直放置的光滑圓弧軌道，當(dāng)擺球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔．已知擺線長(zhǎng)L=2m，θ=60°，小球質(zhì)量為m=0.5kg，D點(diǎn)與小孔A的水平距離s=2m，g取10m/s²．試求：
（1）求擺球的到達(dá)D點(diǎn)的速度多大？
（2）求擺線能承受的最大拉力為多大？
（3）要使擺球能進(jìn)入圓軌道且最高不超過與圓心等高處，求小球與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的范圍．

Answer 1

分析 （1、2）對(duì)CD段運(yùn)用動(dòng)能定理，求出小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律，通過拉力和重力的合力提供向心力求出繩子的拉力．
（3）首先找出進(jìn)入圓弧的臨界條件，再據(jù)動(dòng)能定理求解即可．

解答 解（1）對(duì)CD段應(yīng)用動(dòng)能定理，得：mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s
（2）在最低點(diǎn)有牛頓第二定律得：T-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{L}$
代入數(shù)據(jù)解得：T=10N
由作用力與反作用力的關(guān)系可知：小球在最低點(diǎn)對(duì)繩子的拉力為10N，即繩子承受的最大拉力為10N．
（3）要使擺球能進(jìn)入圓軌道，所以到達(dá)A點(diǎn)的速度大于零，據(jù)動(dòng)能定理得：
${μ}_{1}mgs=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：μ₁=0.5
又因?yàn)樽罡卟怀�過與圓心等高處，所以在等高處最大速度為零，再據(jù)動(dòng)能定理得：
${μ}_{2}mgs+mgR=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：μ₂=0.35
以上可知，使擺球能進(jìn)入圓軌道且最高不超過與圓心等高處，求小球與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)0.35＜μ＜0.5．
答：（1）求擺球的到達(dá)D點(diǎn)的速度2$\sqrt{5}$m/s．
（2）求擺線能承受的最大拉力10N．
（3）要使擺球能進(jìn)入圓軌道且最高不超過與圓心等高處，求小球與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的范圍0.35＜μ＜0.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，運(yùn)用動(dòng)能定理解題，關(guān)鍵確定研究的過程，分析過程中有哪些力做功，結(jié)合動(dòng)能定理列式求解．