Question

19．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy在第一象限內(nèi)存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第二、四象限內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第三象限內(nèi)存在與x軸負(fù)方向成30°角斜向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子以一定初速度從y軸上的A點(diǎn)與y軸正方向成60°角垂直磁場(chǎng)方向射入第二象限，粒子從x軸上的C點(diǎn)與x軸正方向成30°角進(jìn)入第三象限，粒子到達(dá)y軸上的D點(diǎn)（沒畫出）時(shí)速度剛好減半，經(jīng)第四象限內(nèi)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后又能垂直x軸進(jìn)入第一象限內(nèi)，最后恰好回到A點(diǎn)，已知OA=$\sqrt{3}$a，第二象限內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，粒子重力不計(jì)，求：
（1）粒子的初速度v₀和第四象限內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁；
（2）第一、三象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₁、E₂；
（3）粒子在第一、三象限內(nèi)運(yùn)行的時(shí)間比t₁：t₃．

Answer 1

分析 （1）由粒子在第二象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，結(jié)合幾何關(guān)系其直徑恰為AC．可以求得粒子的初速度，再由題意結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由半徑公式可以求出第四象限內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）在第三象限做勻減速直線運(yùn)動(dòng)粒子速度減半，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速度，從而就求出了第三象限的電場(chǎng)強(qiáng)度；粒子在第一象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，由水平位移和豎直位移公式求出水平面方向的加速度，從而也求出了第一象限的電場(chǎng)強(qiáng)度．
（3）第一象限的時(shí)間可以從豎直方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)位移除以速度得到，而第三象限由勻減速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出，均用題目所給的物理量表示，從而也就求出了在兩個(gè)象限的時(shí)間之比．

解答 解：（1）粒子在第二象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)正好完成半個(gè)圓周，則：$2{R}_{2}cos30°=OA=\sqrt{3}a$
  所以R₂=a  
  解得：${v}_{0}=\frac{Bqa}{m}$  
  粒子在第三象限中運(yùn)動(dòng)時(shí)有：CD=$2{R}_{2}tan30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
  粒子在第四象限中運(yùn)動(dòng)時(shí)有：${R}_{4}=CDtan30°=\frac{2}{3}a$
  而$q{B}_{1}{v}_{1}=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{4}}$   ${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
  解得：${B}_{1}=\frac{3}{4}B$
（2）在第一象限內(nèi)：水平位移 x₁=R₄+R₄sin30°=a 
豎直位移 ${y}_{1}=OA=\sqrt{3}a$
  由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：${x}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{q{E}_{1}}{m}×{{t}_{1}}^{2}$       
  y₁=v₁t₁
  解得 ${E}_{1}=\frac{{B}^{2}qa}{6m}\\;\\;\$  
${t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}m}{Bq}$   
  在第三象限內(nèi)：${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2×\frac{q{E}_{2}}{m}×CD$    
  代入解得：${E}_{2}=\frac{3\sqrt{3}{B}^{2}qa}{16m}$
  （3）在第三象限內(nèi)有：
  ${v}_{0}-{v}_{1}=\frac{q{E}_{2}}{m}×{t}_{3}$  
 解得t₃=$\frac{8\sqrt{3}m}{9Bq}$
  所以  $\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{9}{4}$
答：（1）粒子的初速度v₀和$\frac{Bqa}{m}$第四象限內(nèi)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度$\frac{3}{4}B$．
（2）第一、三象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為$\frac{{B}^{2}qa}{6m}$  和  $\frac{3\sqrt{3}{B}^{2}qa}{16m}$． 
（3）粒子在第一、三象限內(nèi)運(yùn)行的時(shí)間比為9：4．

點(diǎn)評(píng) 本題物理過程明顯，每一個(gè)過程用相應(yīng)的規(guī)律寫出相關(guān)方程，再加上題設(shè)的條件，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，一般能得到正確結(jié)果．比較困難一點(diǎn)的是粒子在第四象限的圓周運(yùn)動(dòng)的圓心的確定，從初末速度的方向畫垂線，相交點(diǎn)就是圓心．當(dāng)然本題還多次涉及到特殊直角三角形邊長關(guān)系，不能初心大意．