Question

4．如圖所示，空間存在豎直向下的有界勻強磁場B，一單匝邊長為L，質量為m的正方形線框abcd放在水平桌面上，在水平外力作用下從左邊界以速度v勻速進入磁場，當cd邊剛好進入磁場后立刻撤去外力，線框ab邊恰好能到達磁場的右邊界，然后將線框以ab邊為軸，以角速度ω勻速翻轉到圖示虛線位置．已知線框與桌面間動摩擦因數(shù)為μ，磁場寬度大于L，線框電阻為R，重力加速度為g，求：
（1）當ab邊剛進入磁場時，ab兩端的電壓U_ab；
（2）磁場的寬度d；
（3）整個過程中產(chǎn)生的總熱量Q．

Answer 1

分析 （1）ab邊相當于電源，根據(jù)切割公式求解感應電動勢，根據(jù)閉合電路歐姆定律求解ab兩端的電壓U_ab；
（2）根據(jù)安培力公式求解安培力，根據(jù)平衡條件求解拉力；根據(jù)運動學公式求解磁場的寬度d；
（3）勻速進入磁場過程是恒定電流，根據(jù)焦耳定律求解焦耳熱；根據(jù)功能關系求解摩擦產(chǎn)生的熱量；最后翻轉過程是正弦式交流電，先根據(jù)E_m=NBSω求解最大值，得到有效值，最后根據(jù)焦耳定律求解電熱．

解答 解：（1）ab邊相當于電源，根據(jù)切割公式，有：
E=BLv
根據(jù)閉合電路歐姆定律，有：
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$
根據(jù)歐姆定律，有：
U_ab=I×$\frac{3}{4}R$=$\frac{3BLv}{4}$
（2）根據(jù)平衡條件，有：
F=F_A+μmg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}+μmg$
撤去拉力后，線框勻減速運動，加速度為-μg，根據(jù)速度位移關系公式，有：
x₁=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$
所以：d=L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$
（3）進入磁場過程中產(chǎn)生焦耳熱：
Q₁=I²Rt₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$
由于摩擦產(chǎn)生的熱量：
Q₂=μmg（L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$）=$μmgL+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
線框在繞ab軸翻轉過程中，E_m=BL²ω，有效值：
E=$\frac{B{L}^{2}ω}{\sqrt{2}}$
t=$\frac{1}{4}T=\frac{π}{2ω}$
產(chǎn)生焦耳熱：
Q₃=I²Rt=$\frac{{E}^{2}}{R}t$=$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$；
所以整個過程產(chǎn)生的熱量為：
Q=Q₁+Q₂+Q₃=μmgL+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$+$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$；
答：（1）當ab邊剛進入磁場時，ab兩端的電壓U_ab為$\frac{3BLv}{4}$；
（2）水平拉力F的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}+μmg$，磁場的寬度d為L+$\frac{{v}^{2}}{2μg}$；
（3）整個過程中產(chǎn)生的總熱量Q為μmgL+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{{B}^{2}{L}^{3}v}{R}$+$\frac{π{B}^{2}{L}^{4}ω}{4R}$．

點評 本題關鍵是將線框的運動過程分為勻速、勻減速、轉動三個過程進行分析，注意最后的翻轉過程是正弦式交流電．要注意求電功時要用交流電的有效值．