Question

2．在圖所示的坐標(biāo)系中，x軸水平，y軸垂直，x軸上方空間只存在重力場，第Ⅲ象限存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場和垂直xy平面向里的勻強(qiáng)磁場，在第Ⅳ象限有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小與第Ⅲ象限存在的電場的場強(qiáng)大小相等．一質(zhì)量為m，帶電荷量大小為q的質(zhì)點(diǎn)a，從y軸上y=h處的P₁點(diǎn)以一定的水平速度（大小未知）沿x軸負(fù)方向拋出，它經(jīng)過x=-2h處的P₂點(diǎn)進(jìn)入第Ⅲ象限，在第Ⅲ象限內(nèi)質(zhì)點(diǎn)恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，又經(jīng)過y軸下方y(tǒng)=-2h的P₃點(diǎn)進(jìn)入第Ⅳ象限，試求：
（1）質(zhì)點(diǎn)a到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（2）第Ⅲ象限中勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度和勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（3）質(zhì)點(diǎn)a進(jìn)入第Ⅳ象限且速度減為零時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子先做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解成水平方向勻速直線運(yùn)動(dòng)與豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)，從而求出粒子到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向；
（2）當(dāng)帶電粒子進(jìn)入電場、磁場與重力場中時(shí)，重力與電場力相平衡，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由平衡可得出電場強(qiáng)度大小，再幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小．
（3）分析帶電粒子的受力情況，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，即可求解．

解答 解：如圖所示
（1）質(zhì)點(diǎn)在第Ⅱ象限中做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)初速度為v₀，$h=\frac{1}{2}g{t^2}$；
2h=v₀t                               
解得平拋的初速度為：${v_0}=\sqrt{2gh}$
在P₂點(diǎn)，速度v的豎直分量為：${v_y}=gt=\sqrt{2gh}$
所以v=2$\sqrt{gh}$，其方向與x軸負(fù)向夾角θ=45°
（2）帶電粒子進(jìn)入第Ⅲ象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，必有：
mg=qE                        
又恰能過負(fù)y軸2h處，故$\overline{{P_2}{P_3}}$為圓的直徑，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為：
R=$\frac{{\sqrt{2}•\overline{O{P_2}}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}•2h}}{2}=\sqrt{2}h$
又由 $qvB=m\frac{v^2}{R}$
可解得：E=$\frac{mg}{q}$；B=$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{2g}{h}}$
（3）帶電粒以大小為v，方向與x軸正向夾45°角進(jìn)入第Ⅳ象限，所受電場力與重力的合力為$\sqrt{2}mg$，方向與過P₃點(diǎn)的速度方向相反，
故帶電粒做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a，
則：$a=\frac{{\sqrt{2}mg}}{m}=\sqrt{2}g$
由${O^2}-{v^2}=-2as，得s=\frac{v^2}{2a}=\frac{4gh}{{2\sqrt{2}g}}=\sqrt{2}h$
由此得出速度減為0時(shí)的位置坐標(biāo)是（h，-h）
答：（1）質(zhì)點(diǎn)a到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)速度的大小2$\sqrt{gh}$，和方向與x軸負(fù)向夾角θ=45°；
（2）第Ⅲ象限中勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度$\frac{mg}{q}$和勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{2g}{h}}$；
（3）質(zhì)點(diǎn)a進(jìn)入第Ⅳ象限且速度減為零時(shí)的位置坐標(biāo)（h，-h）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在場中三種運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)和勻減速直線運(yùn)動(dòng)，考查綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．