Question

9．在科學(xué)研究中，可以通過加適當(dāng)?shù)拇艌鰜韺崿F(xiàn)對帶電粒子運動的控制．如圖甲所示的xoy平面處于磁場中，磁場與xoy平面垂直，磁感應(yīng)強度B隨時間t做周期性變化，如圖乙所示．一質(zhì)量為m，帶電荷量為+q的粒子（不計重力）以初速度v₀由O點沿x軸正方向射入磁場．各物理滿足t₀=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$．

（1）若t=0時粒子射入磁場，求t=t₀時粒子的位置坐標．
（2）若粒子的在某一時刻t′射入磁場，粒子不會穿越x軸，且其縱坐標始終不超過某一定值y₀（y₀＞0），求t′和y₀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場中運動的半徑公式和周期公式求出粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)角，根據(jù)幾何關(guān)系求出t=t₀時粒子的位置坐標．
（2）粒子運動過程不穿越x軸，且縱坐標不超過某一值，粒子運動到最高點時速度與x軸平行，作出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系，抓住粒子運動的周期性求出t′的大小，結(jié)合幾何關(guān)系求出y₀的大小．

解答 解：（1）當(dāng)t=t₀時，粒子運動到P點，粒子做圓周運動的軌道半徑為r，周期為T，偏轉(zhuǎn)角為θ，則
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
$T=\frac{2πm}{qB}$，$θ=2π\(zhòng)frac{{t}_{0}}{T}$，
P點坐標為（x_p，y_p），
x_p=rsinθ，y_p=r（1-cosθ），
解得P（$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}$，$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$）    
（2）由題意可知，粒子運動過程不穿越x軸，且縱坐標不超過某一值，粒子運動到最高點時速度與x軸平行，帶電粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示

由幾何關(guān)系可得
α=30°
由于粒子運動具有周期性，由圖可知，粒子進入磁場時的時間可以為$\frac{1}{2}{t}_{0}$、$\frac{1}{2}{t}_{0}+2{t}_{0}$、$\frac{1}{2}{t}_{0}+4{t}_{0}$…
即$t′=\frac{1}{2}{t}_{0}+2n{t}_{0}$   （n=0，1，2…）
由幾何關(guān)系可得
y₀=2r（1-cosα），
解得${y}_{0}=\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$．
答：（1）t=t₀時粒子的位置坐標為P（$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qB}$，$\frac{m{v}_{0}}{2qB}$）
（2）$t′=\frac{1}{2}{t}_{0}+2n{t}_{0}$ （n=0，1，2…），${y}_{0}=\frac{（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$．

點評 本題考查了帶電粒子在磁場中的運動，關(guān)鍵作出粒子運動的軌跡圖，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合半徑公式和周期公式，運用幾何關(guān)系進行求解，難度較大．