Question

20．跳臺滑雪起源于挪威，于1924年被列為首屆冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目．某滑雪軌道如圖所示，其中BC段水平，光滑斜面CD與半徑為R 的光滑圓弧軌道相切于D點(diǎn)，P為圓弧軌道最低點(diǎn)，且∠POD=θ．A與B、D、P的高度差分別為h₁、h₂、h₃．一個(gè)質(zhì)量為m的滑雪運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)由靜止開始自由滑下，經(jīng)過C點(diǎn)水平滑出后恰好落在斜面CD的中點(diǎn)E 處，緊接著沿軌道繼續(xù)滑行，到達(dá)P點(diǎn)時(shí)所受軌道支持力大小為N，運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g．求：
（1）運(yùn)動(dòng)員從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的時(shí)間t及從C點(diǎn)飛出時(shí)的速度；
（2）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_k；
（3）運(yùn)動(dòng)員在E點(diǎn)損失的機(jī)械能△E．

Answer 1

分析 （1）先由機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動(dòng)員從C點(diǎn)飛出時(shí)的速度．從C點(diǎn)飛出后運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)豎直位移與水平位移之比等于tanθ，求運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的時(shí)間t．
（2）先由牛頓第二定律求出運(yùn)動(dòng)員到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度，再研究DP過程，由機(jī)械能守恒定律求運(yùn)動(dòng)員到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_k．
（3）由機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動(dòng)員落在E點(diǎn)后瞬間的動(dòng)能，由速度合成求出落在E點(diǎn)前瞬間的速度，得到動(dòng)能，從而求出損失的機(jī)械能△E．

解答 解：（1）運(yùn)動(dòng)員從A到C，由機(jī)械能守恒定律得：
mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，
得：v_C=$\sqrt{2g{h}_{1}}$
從C點(diǎn)飛出后運(yùn)動(dòng)員做平拋運(yùn)動(dòng)，斜坡CD的傾角等于θ，落在E點(diǎn)時(shí)有：
tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{C}t}$
可得：t=$\frac{2tanθ\sqrt{2g{h}_{1}}}{g}$
（2）在P點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
從D到P的過程，由機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-E_k=mgR（1-cosθ）
聯(lián)立解得：E_k=$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）
（3）運(yùn)動(dòng)員落在E點(diǎn)瞬間的速度為：
v_E=$\sqrt{{v}_{C}^{2}+（gt）^{2}}$=$\sqrt{2g{h}_{1}（1+4ta{n}^{2}θ）}$
E到D的過程，由機(jī)械能守恒定律得：mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$=E_k-E_kE
可得，運(yùn)動(dòng)員落在E點(diǎn)后瞬間的動(dòng)能為：
E_kE=$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）-mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$
則運(yùn)動(dòng)員在E點(diǎn)損失的機(jī)械能為：
△E=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$-E_kE=mgh₁（1+4tan²θ）-$\frac{1}{2}N$+mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）+mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$
答：（1）運(yùn)動(dòng)員從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)的時(shí)間是$\frac{2tanθ\sqrt{2g{h}_{1}}}{g}$，從C點(diǎn)飛出時(shí)的速度是$\sqrt{2g{h}_{1}}$；
（2）運(yùn)動(dòng)員到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E_k是$\frac{1}{2}N$-mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）；
（3）運(yùn)動(dòng)員在E點(diǎn)損失的機(jī)械能△E是mgh₁（1+4tan²θ）-$\frac{1}{2}N$+mgR（$\frac{3}{2}-cosθ$）+mg$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{2}$．

點(diǎn)評 本題是多過程問題，分析清楚運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)過程，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律是關(guān)鍵．要明確運(yùn)動(dòng)員落在斜面上時(shí)意味著位移方向與水平方向的夾角等于斜面的傾角，根據(jù)分位移關(guān)系求出時(shí)間．