Question

如圖所示，質(zhì)量為m的小球在水平向左的恒定外力作用下從光滑的水平軌道上的A點(diǎn)由靜止出發(fā)，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)撤去外力后，小球沿豎直面內(nèi)的半徑為R的光滑半圓形軌道運(yùn)動(dòng)，恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)C，小球脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發(fā)點(diǎn)A．
求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小v_C；  
（2）小球從C點(diǎn)落回至A點(diǎn)的時(shí)間t；
（3）AB兩點(diǎn)間的距離x；    
（4）小球在水平面上從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)所受的水平恒力F的大�。�

Answer 1

分析：（1）小球恰好能通過(guò)軌道最高點(diǎn)C時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出v_C；
（2）小球從C點(diǎn)落回至A點(diǎn)是做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由高度即可求出時(shí)間．
（3）由平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和v_C，可求出AB兩點(diǎn)間的距離．
（4）從A到C過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出恒力F的大�。�

解答：解：（1）小球恰能通過(guò)半圓形軌道最高點(diǎn)C，則：
   mg=m

v 2 C

R

得，vC=

gR

（2）小球從C點(diǎn)落回至A點(diǎn)是做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：
   h=2R=

1

2

gt2
故小球從C點(diǎn)落回至A點(diǎn)的時(shí)間t=2

R g

（3）AB兩點(diǎn)間的距離 x=vC?t=

gR

?2

R g

=2R．
（4）對(duì)于小球從A運(yùn)動(dòng)到C過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
   F?x-mg?2R=

1

2

m

v

2 C

-0
  解得：F=

5

4

mg
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)C時(shí)的速度大小v_C為

gR

．
（2）小球從C點(diǎn)落回至A點(diǎn)的時(shí)間t為2

R g

；
（3）AB兩點(diǎn)間的距離x等于2R；
（4）小球在水平面上從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)所受的水平恒力F的大小為

5

4

mg．

點(diǎn)評(píng)：本題是向心力、平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理等知識(shí)的綜合，抓住隱含的臨界狀態(tài)求解v_C．難度不大．