Question

8．如圖所示，小車質(zhì)量為M，小車頂端為半徑為R的四分之一光滑圓弧，質(zhì)量為m的小球從圓弧頂端由靜止釋放，對(duì)此運(yùn)動(dòng)過程的分析，下列說法中正確的是（g為當(dāng)?shù)刂亓�加速度）（　�。?table class="qanwser">A．若地面粗糙且小車能夠靜止不動(dòng)，則地面對(duì)小車的靜摩擦力最大為mgB．若地面粗糙且小車能夠靜止不動(dòng)，則地面對(duì)小車的靜摩擦力最大為$\frac{3mg}{2}$C．若地面光滑，當(dāng)小球滑到圓弧最低點(diǎn)時(shí)，小車速度為m$\sqrt{\frac{2gR}{M（M+m）}}$D．若地面光滑，當(dāng)小球滑到圓弧最低點(diǎn)時(shí)，小車速度為M$\sqrt{\frac{2gR}{m（M+m）}}$

Answer 1

分析 若地面粗糙且小車能夠靜止不動(dòng)，因?yàn)樾∏蛑挥兄亓ψ龉�，故小球機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒可求得小球任一位置時(shí)的速度，由向心力公式可求得小球受到的支持力；
對(duì)小車受力分析可求得靜摩擦力的最大值．
若地面光滑，小球下滑的過程中，小車向左運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒，系統(tǒng)的機(jī)械能也守恒，由此列式，可求得小球滑到圓弧最低點(diǎn)時(shí)小車的速度．

解答 解：AB、設(shè)圓弧半徑為R，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到重力與半徑夾角為θ時(shí)，速度為v．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}$mv²=mgRcosθ
由牛頓第二定律有：
   N-mgcosθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得小球?qū)π≤嚨膲毫�為：N=3mgcosθ
其水平分量為 N_x=3mgcosθsinθ=$\frac{3}{2}$mgsin2θ
根據(jù)平衡條件，地面對(duì)小車的靜摩擦力水平向右，大小為：f=N_x=$\frac{3}{2}$mgsin2θ
可以看出：當(dāng)sin2θ=1，即θ=45°時(shí)，地面對(duì)車的靜摩擦力最大，其值為f_max=$\frac{3}{2}$mg．故A錯(cuò)誤，B正確．
CD、若地面光滑，當(dāng)小球滑到圓弧最低點(diǎn)時(shí)，小車的速度設(shè)為v′，小球的速度設(shè)為v．
小球與小車組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv-Mv′=0
系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$Mv′²，
解得：v′=m$\sqrt{\frac{2gR}{M（M+m）}}$．故C正確，D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 本題中地面光滑時(shí)，小車與小球組成的系統(tǒng)在水平方向所受合外力為零，系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，但系統(tǒng)的總動(dòng)量并不守恒．