Question

10．如圖所示，固定于一條豎直線上的A、B兩個點(diǎn)電荷，電荷量分別為+Q和-Q，D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，直線CD是它們連線的垂直平分線，A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一邊長為d的等邊三角形，另有一個帶電小球E，質(zhì)量為m、電荷量為+q（可視為點(diǎn)電荷），被長為L的絕緣輕質(zhì)細(xì)線懸掛于O點(diǎn)，C點(diǎn)在O點(diǎn)的正下方．現(xiàn)在把小球 E拉起到M點(diǎn)，使細(xì)線水平繃直且與A、B、C處于同一豎直面內(nèi)，并由靜止開始釋放，取無窮遠(yuǎn)處的電勢為零時，M的電勢φ，已知靜電力常量為k，求：
（1）小球E運(yùn)動到最低點(diǎn)C時的速度．
（2）小球E從M點(diǎn)到最低點(diǎn)C的過程中，機(jī)械能如何變化？變化多少？
（3）絕緣細(xì)線在C點(diǎn)所受到的拉力T．

Answer 1

分析 （1）小球向下運(yùn)動的過程中重力和電場力做功，由動能定理可求得小球E運(yùn)動到最低點(diǎn)C時的速度；
（2）小球E從M點(diǎn)到最低點(diǎn)C的過程中，電場力做正功，機(jī)械能增大，由功能關(guān)系即可求出機(jī)械能的變化量；
（3）由電場強(qiáng)度可求得電場力，由力的合成可求得電場力的合力的大小，而小球做圓周運(yùn)動，故由牛頓第二定律可求得細(xì)繩對小球的拉力T，再由牛頓第三定律可求得小球?qū)��?xì)線的拉力大�。�

解答 解：（1）由題可知，C在AB連線的中垂線上，所以C點(diǎn)的電勢與無窮遠(yuǎn)處的電勢相等，等于0．U_Mc=φ-0=φ．C點(diǎn)的電場強(qiáng)度的方向豎直向下．
電荷E從M點(diǎn)運(yùn)動到C的過程中，電場力做正功，重力做正功．根據(jù)動能定理qU_Mc+mgL=$\frac{m{v}^{2}}{2}$ 
聯(lián)立得：$v=\sqrt{\frac{2（qφ+mgL）}{m}}$
（2）M、C兩點(diǎn)的電勢差為 U_MC=φ
所以M到C的過程中電場力做功為W=qφ，所以小球的機(jī)械能的增加量為qφ；
（3）在C點(diǎn)時A對小球E的電場力F₁與B對小球E的電場力F₂相等，且為
F₁=F₂=$\frac{kQq}{vzlh7uo^{2}}$
又，A、B、C為一等邊三角形，所以F₁、F₂的夾角為120°，故F₁、F₂的合力為
F₁₂=$\frac{kQq}{q9u3cjg^{2}}$，且方向豎直向下．
由牛頓運(yùn)動定律得    T-k$\frac{Qq}{d^2}-mg$=$\frac{m{v}^{2}}{L}$
解得    T=k$\frac{Qq}{d^2}+mg$+$\frac{2（qφ+mgL）}{L}$=$\frac{kQq}{vgrwfd1^{2}}+3mg+\frac{2qφ}{L}$  方向向上
根據(jù)牛頓第三定律，小球E對細(xì)線的拉力大小等于$\frac{kQq}{xo7vf1s^{2}}+3mg+\frac{2qφ}{L}$方向向下
答：（1）小球E運(yùn)動到最低點(diǎn)C時的速度是$\sqrt{\frac{2（qφ+mgL）}{m}}$．
（2）小球E從M點(diǎn)到最低點(diǎn)C的過程中，機(jī)械能增大，增加qφ；
（3）絕緣細(xì)線在C點(diǎn)所受到的拉力T是$\frac{kQq}{xp6uwch^{2}}+3mg+\frac{2qφ}{L}$，方向向下．

點(diǎn)評 本題考查電場中力與能的性質(zhì)，要注意小球在拉力、重力及庫侖力的作用下做圓周運(yùn)動，故應(yīng)明確合力充當(dāng)了向心力．